Questão 36 da FUVEST 2008

Question

No retângulo ABCD da figura tem-se CD = \ell e AD = 2\ell. Além disso, o ponto E pertence à diagonal \overline{BD}, o ponto F pertence ao lado \overline{BC} e \overline{EF} é perpendicular a \overline{BD}. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então \overline{BF} mede

Retângulo ABCD com lado inferior AD de medida 2ℓ e lado direito CD de medida ℓ. A diagonal BD está traçada e contém um ponto E. O segmento EF une o lado superior BC à diagonal BD, formando um ângulo reto no vértice E.

A
\ell\sqrt{2}/8
B
\ell\sqrt{2}/4
C
\ell\sqrt{2}/2
D
3\ell\sqrt{2}/4
E
\ell\sqrt{2}

Answer 1

Questão 36 da FUVEST 2008

1ª fase

No retângulo ABCD da figura tem-se CD = \ell e AD = 2\ell. Além disso, o ponto E pertence à diagonal \overline{BD}, o ponto F pertence ao lado \overline{BC} e \overline{EF} é perpendicular a \overline{BD}. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então \overline{BF} mede

Retângulo ABCD com lado inferior AD de medida 2ℓ e lado direito CD de medida ℓ. A diagonal BD está traçada e contém um ponto E. O segmento EF une o lado superior BC à diagonal BD, formando um ângulo reto no vértice E.

A
\ell\sqrt{2}/8
B
\ell\sqrt{2}/4
C
\ell\sqrt{2}/2
D
3\ell\sqrt{2}/4
E
\ell\sqrt{2}

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Resolução comentada

Pela figura, B é o vértice superior esquerdo, C o superior direito, A o inferior esquerdo e D o inferior direito. Então BC = AD = 2\ell e CD = AB = \ell. A diagonal BD mede \sqrt{\ell^2+4\ell^2}=\ell\sqrt{5}.

Os triângulos BEF e BCD são semelhantes: ambos têm ângulo reto (em E e em C) e compartilham o ângulo B. Os lados correspondentes são:

BF (hipotenusa de BEF) corresponde a BD (hipotenusa de BCD);
BE corresponde a BC;
EF corresponde a CD.

Primeiro, calcule a razão de semelhança k usando as áreas. A área do retângulo é 2\ell\cdot\ell=2\ell^2. A área de BEF é \frac{2\ell^2}{5}.

A área de BCD é metade do retângulo, isto é, \ell^2. Como a razão entre áreas de triângulos semelhantes é k^2:

k^2=\frac{2\ell^2/5}{\ell^2}=\frac{2}{5}\quad\Rightarrow\quad k=\sqrt{\frac{2}{5}}

A razão entre os lados correspondentes é k, então:

BF = k\cdot BD=\sqrt{\frac{2}{5}}\cdot \ell\sqrt{5}=\ell\sqrt{2}

Confira: BF=\ell\sqrt2 \le BC=2\ell, então F realmente está sobre o lado BC.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor muito pequeno, sem relação com a razão de semelhança \sqrt{2/5} aplicada à diagonal.
BErro de conta: não resulta de k\cdot BD; subestima a razão de semelhança.
CMetade do valor correto, como se a razão de áreas fosse usada no lugar da razão de lados.
DNão decorre de nenhuma relação de semelhança do problema.

Assuntos: semelhança de triângulos, áreas, retângulo.

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