Questão 35 da FUVEST 2008

Question

A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x^2 + (1 + 5m - 3m^2)x + (m^2 + 1) = 0 é igual a

A
\frac{5}{2}
B
\frac{3}{2}
C
0
D
-\frac{3}{2}
E
-\frac{5}{2}

Answer 1

Questão 35 da FUVEST 2008

1ª fase

A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x^2 + (1 + 5m - 3m^2)x + (m^2 + 1) = 0 é igual a

A
\frac{5}{2}
B
\frac{3}{2}
C
0
D
-\frac{3}{2}
E
-\frac{5}{2}

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Resolução comentada

Se x=1 é raiz, ao substituir x por 1 a equação deve ficar verdadeira. Isso nos dá uma equação em m.

Substituindo: 1^2 + (1 + 5m - 3m^2)\cdot 1 + (m^2+1) = 0.
Somando os termos: 1 + 1 + 5m - 3m^2 + m^2 + 1 = 0, ou seja, -2m^2 + 5m + 3 = 0.
Multiplicando por -1: 2m^2 - 5m - 3 = 0.

Precisamos da soma dos valores de m, isto é, da soma das raízes dessa equação do 2º grau. Pelas relações de Girard, para am^2+bm+c=0 a soma das raízes é -\frac{b}{a}:

S = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}

Conferindo pelas raízes: \Delta = 25 + 24 = 49, então m = \frac{5 \pm 7}{4}, dando m=3 e m=-\frac{1}{2}. A soma é 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma soma correta; vem de erro de conta ao reduzir a equação em m.
CIgnora a soma das raízes em m e trata a equação como se não tivesse termo em m de 1º grau.
DErro de conta ou de sinal ao montar a equação em m.
EUsa o sinal errado na fórmula -b/a, obtendo b/a.

Assuntos: relações de Girard, equação do 2º grau, raiz de equação.

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