Questão 34 da FUVEST 2008

1ª fase

Os números reais x e y são soluções do sistema

\begin{cases} 2\log_2 x - \log_2(y - 1) = 1 \\ \log_2(x + 4) - \dfrac{1}{2}\log_2 y = 2 \end{cases}

Então 7(\sqrt{y} - x) vale

  1. A
    -7
  2. B
    -1
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. E
    7
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Resolução comentada

Condições de existência: x>0 e y>1.

Primeira equação. Usando a propriedade da potência e do quociente:

\log_2\frac{x^2}{y-1}=1 \Rightarrow x^2 = 2(y-1)

Segunda equação. Como \frac12\log_2 y=\log_2\sqrt{y}:

\log_2\frac{x+4}{\sqrt{y}}=2 \Rightarrow x+4=4\sqrt{y}

Então \sqrt{y}=\dfrac{x+4}{4} e y=\dfrac{(x+4)^2}{16}.

Substituindo na primeira:

  1. x^2 = 2\left(\dfrac{(x+4)^2}{16}-1\right)
  2. Multiplicando por 8: 8x^2=(x+4)^2-16 = x^2+8x
  3. 7x^2-8x=0 \Rightarrow x(7x-8)=0

Como x>0, x=\dfrac87.

Cálculo de \sqrt y:

\sqrt{y}=\frac{\frac87+4}{4}=\frac{36/7}{4}=\frac97

Conferindo: y=\frac{81}{49}>1 e x^2=\frac{64}{49}=2\left(\frac{81}{49}-1\right)=\frac{64}{49}. Vale.

Resultado:

7(\sqrt y - x)=7\left(\frac97-\frac87\right)=1

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AInverte a diferença, calculando 7(x-\sqrt{y}), e ainda erra o valor.
  • BResultado com sinal trocado: seria 7(x-\sqrt{y})=-1, não 7(\sqrt y-x).
  • CSupõe \sqrt{y}=x, o que não ocorre, pois \sqrt y=9/7 e x=8/7.
  • EEsquece de dividir: 7 vezes uma diferença que vale 1/7 dá 1, não 7.

Assuntos: logaritmos, sistema de equações, propriedades dos logaritmos.

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