Questão 33 da FUVEST 2008

1ª fase

Sabe-se sobre a progressão geométrica a_1, a_2, a_3, \text{...} que a_1 > 0 e a_6 = -9\sqrt{3}. Além disso, a progressão geométrica a_1, a_5, a_9, \text{...} tem razão igual a 9.

Nessas condições, o produto a_2 a_7 vale

  1. A
    -27\sqrt{3}
  2. B
    -3\sqrt{3}
  3. C
    -\sqrt{3}
  4. D
    3\sqrt{3}
  5. E
    27\sqrt{3}
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Resolução comentada

Seja q a razão da PG original. A PG a_1, a_5, a_9,\dots pula de 4 em 4 termos, então sua razão é q^4.

  1. q^4 = 9, logo q^2 = 3 (pois q^2>0), e q=\pm\sqrt{3}.

  2. Usamos a_6 = a_1 q^5 = -9\sqrt{3}. Como a_1>0, precisamos de q^5<0, ou seja, q=-\sqrt{3}.

  3. Calculamos q^5 = (q^2)^2\cdot q = 9\cdot(-\sqrt{3}) = -9\sqrt{3}. Então a_1\cdot(-9\sqrt{3}) = -9\sqrt{3}, e a_1 = 1.

  4. Agora o produto: a_2 = a_1 q = -\sqrt{3} e a_7 = a_1 q^6 = 27.

a_2 a_7 = -\sqrt{3}\cdot 27 = -27\sqrt{3}

Outra forma: a_2a_7 = a_1^2 q^7 = 1\cdot (q^2)^3\cdot q = 27\cdot(-\sqrt{3}), o mesmo resultado.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem toma q=\sqrt{3} sem notar que a_6<0 com a_1>0 obriga q negativo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErra as potências de q, por exemplo usando a_7 = a_1 q^2, em vez de q^6.
  • CCalcula só a_2=-\sqrt{3} ou esquece de multiplicar por a_7 = 27.
  • DUsa q=+\sqrt{3} e erra o sinal, ignorando que a_1>0 e a_6<0 exigem q<0.
  • EUsa q=+\sqrt{3}, obtendo produto positivo; o sinal correto é negativo.

Assuntos: progressão geométrica, termo geral da PG.

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