Questão 32 da FUVEST 2008

Question

Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de \alpha = \frac{\pi}{3} radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de \beta radianos, com \tg\beta = 3\sqrt{3}.

É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é

Esquema representando uma torre perpendicular ao solo horizontal. A partir de duas posições no solo, são emitidos raios em direção ao topo da torre, formando com o solo os ângulos alfa e beta, com beta mais próximo da base da torre.

A
4\sqrt{3}
B
5\sqrt{3}
C
6\sqrt{3}
D
7\sqrt{3}
E
8\sqrt{3}

Answer 1

Questão 32 da FUVEST 2008

1ª fase

Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de \alpha = \frac{\pi}{3} radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de \beta radianos, com \tg\beta = 3\sqrt{3}.

É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é

Esquema representando uma torre perpendicular ao solo horizontal. A partir de duas posições no solo, são emitidos raios em direção ao topo da torre, formando com o solo os ângulos alfa e beta, com beta mais próximo da base da torre.

A
4\sqrt{3}
B
5\sqrt{3}
C
6\sqrt{3}
D
7\sqrt{3}
E
8\sqrt{3}

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Chame de h a altura da torre e de x a distância da base da torre até a segunda posição do aparelho (a mais próxima). A primeira posição fica a x+4 da base.

No triângulo retângulo, a tangente do ângulo com o solo é cateto oposto sobre cateto adjacente, ou seja, \tg\theta = \frac{h}{\text{distância}}.

Posição do ângulo \alpha = \frac{\pi}{3}, com \tg\alpha=\sqrt{3}:
h = \sqrt{3}\,(x+4)
Posição do ângulo \beta, com \tg\beta = 3\sqrt{3}:
h = 3\sqrt{3}\,x
Igualando as duas expressões:
3\sqrt{3}\,x = \sqrt{3}\,(x+4)
Dividindo por \sqrt{3}: 3x = x+4, logo 2x=4 e x=2.
Substituindo em h = 3\sqrt{3}\,x:
h = 3\sqrt{3}\cdot 2 = 6\sqrt{3}\ \text{m}

Conferindo com a outra equação: \sqrt{3}(2+4)=6\sqrt{3}. Os valores batem.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ADá 4\sqrt{3}, que sai de tomar x=4/3 ou de confundir o deslocamento de 4 m com a distância até a torre.
BDá 5\sqrt{3}, valor que não resulta de nenhuma solução coerente do sistema com as duas tangentes.
DDá 7\sqrt{3}, que não satisfaz h=3\sqrt{3}x com x=2.
EDá 8\sqrt{3}, que também não satisfaz as duas equações ao mesmo tempo.

Assuntos: trigonometria no triângulo retângulo, tangente.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova