Questão 36 da FUVEST 2007

1ª fase

Sejam a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 números estritamente positivos tais que \log_2 a_1, \log_2 a_2, \log_2 a_3, \log_2 a_4, \log_2 a_5 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 1/2. Se a_1 = 4, então o valor da soma a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 é igual a

  1. A
    24 + \sqrt{2}
  2. B
    24 + 2\sqrt{2}
  3. C
    24 + 12\sqrt{2}
  4. D
    28 + 12\sqrt{2}
  5. E
    28 + 18\sqrt{2}
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Resolução comentada

Se os logaritmos estão em PA de razão 1/2, cada termo a_n é o anterior multiplicado por 2^{1/2}=\sqrt{2}. Isso acontece porque \log_2 a_{n+1} - \log_2 a_n = \frac{1}{2} significa \log_2 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2}, ou seja, \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2^{1/2}.

Assim, (a_n) é uma PG de razão q=\sqrt{2} e primeiro termo a_1=4.

Termos:

  1. a_1 = 4
  2. a_2 = 4\sqrt{2}
  3. a_3 = 4\cdot 2 = 8
  4. a_4 = 8\sqrt{2}
  5. a_5 = 8\cdot 2 = 16

Soma:

4 + 4\sqrt{2} + 8 + 8\sqrt{2} + 16 = 28 + 12\sqrt{2}

Conferindo pela fórmula da soma da PG: S_5 = 4\cdot\frac{(\sqrt{2})^5-1}{\sqrt{2}-1} = 4\cdot\frac{4\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}. Multiplicando por \sqrt2+1: (4\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=8+4\sqrt2-\sqrt2-1=7+3\sqrt2, e 4(7+3\sqrt2)=28+12\sqrt2. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde à soma dos cinco termos da PG; parece ignorar a maioria dos termos.
  • BErra os termos da PG, subestimando tanto a parte inteira quanto a parte com raiz.
  • CAcerta a parte com \sqrt{2}, mas erra a parte inteira (24 em vez de 28), esquecendo o a_1=4 ou errando um termo.
  • ESuperestima o coeficiente de \sqrt{2} (18 em vez de 12), com termos calculados incorretamente.

Assuntos: progressão aritmética, progressão geométrica, logaritmos.

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