Questão 35 da FUVEST 2007

1ª fase

Uma empresa de construção dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 blocos de tipo Y. Esses blocos têm as seguintes características: todos são cilindros retos, o bloco X tem 120\text{ cm} de altura e o bloco Y tem 150\text{ cm} de altura.

Dois cilindros retos lado a lado: o cilindro da esquerda, menor, identificado abaixo como "tipo X", e o da direita, mais alto e mais largo, identificado como "tipo Y".

A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as seguintes condições: cada coluna deve ser construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e todas elas devem ter a mesma altura. Com o material disponível, o número máximo de colunas que podem ser construídas é de

  1. A
    55
  2. B
    56
  3. C
    57
  4. D
    58
  5. E
    59
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Resolução comentada

Cada coluna usa só um tipo de bloco, e todas têm a mesma altura H. Então H precisa ser múltiplo de 120 (colunas de X) e de 150 (colunas de Y).

Uma coluna de X com H de altura usa \frac{H}{120} blocos; uma de Y usa \frac{H}{150} blocos. Para que haja o maior número de colunas, cada coluna deve usar o menor número possível de blocos, ou seja, H deve ser o menor possível: o \text{mmc}(120,150).

  1. 120 = 2^3\cdot 3\cdot 5 e 150 = 2\cdot 3\cdot 5^2, então \text{mmc} = 2^3\cdot 3\cdot 5^2 = 600\ \text{cm}.
  2. Blocos X por coluna: 600/120 = 5. Colunas de X: 117/5 = 23{,}4, ou seja, 23 colunas (sobram 2 blocos).
  3. Blocos Y por coluna: 600/150 = 4. Colunas de Y: 145/4 = 36{,}25, ou seja, 36 colunas (sobra 1 bloco).
  4. Total: 23 + 36 = 59 colunas.

Alturas maiores (múltiplos de 600) exigem mais blocos por coluna e dão menos colunas, então 59 é o máximo.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a divisão correta dos blocos; resulta de erro de conta nas divisões.
  • BNão corresponde a 23+36; erro na contagem de colunas de um dos tipos.
  • CSubestima o número de colunas de X ou de Y ao arredondar de forma incorreta.
  • DPerde uma coluna, por exemplo contando 22 colunas de X em vez de 23.

Assuntos: mmc, divisão com resto.

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