Questão 34 da FUVEST 2007

1ª fase

A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m + 3n)x^2 - 5nx + (m - 2) = 0 valem, respectivamente, \frac{5}{8} e \frac{3}{32}. Então m + n é igual a

  1. A
    9
  2. B
    8
  3. C
    7
  4. D
    6
  5. E
    5
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Resolução comentada

Usamos as relações de Girard: para ax^2+bx+c=0, a soma das raízes é -\frac{b}{a} e o produto é \frac{c}{a}.

Aqui, a = 4m+3n, b=-5n e c=m-2.

  1. Soma: \dfrac{5n}{4m+3n}=\dfrac{5}{8}. Multiplicando em cruz: 40n = 20m+15n, logo 25n=20m, ou seja, m=\dfrac{5n}{4}.

  2. Produto: \dfrac{m-2}{4m+3n}=\dfrac{3}{32}. Multiplicando em cruz: 32m-64 = 12m+9n, logo 20m-9n=64.

  3. Substituindo m=\frac{5n}{4}: 20\cdot\frac{5n}{4}-9n=64, isto é, 25n-9n=64, então 16n=64 e n=4.

  4. Assim, m=\frac{5\cdot4}{4}=5.

Conferindo: a=4\cdot5+3\cdot4=32, b=-20, c=3. Soma =\frac{20}{32}=\frac{5}{8} e produto =\frac{3}{32}. Confere.

Portanto m+n=5+4=9.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem para ao achar m=5 e esquece de somar n.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado que não satisfaz o sistema; não corresponde a m=5 e n=4.
  • CNão decorre do sistema; provavelmente erro de sinal ao montar as equações.
  • DNão decorre do sistema; erro de conta ao resolver para m e n.
  • EÉ o valor de m apenas, esquecendo de somar n=4.

Assuntos: relações de Girard, equação do segundo grau, sistema linear.

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