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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 64 da FUVEST 2003

1ª fase · Física: Associação de resistores

Duas barras \mathbf{M} e \mathbf{N}, de pequeno diâmetro, com \mathbf{1{,}5\text{m}} de comprimento, feitas de material condutor com resistência de \mathbf{R}\Omega a cada metro de comprimento, são suspensas pelos pontos \mathbf{S} e \mathbf{T} e eletricamente interligadas por um fio flexível e condutor \mathbf{F}, fixado às extremidades de uma alavanca que pode girar em torno de um eixo \mathbf{E}. As barras estão parcialmente imersas em mercúrio líquido, como mostra a figura ao lado. Quando a barra \mathbf{M} está totalmente imersa, o ponto \mathbf{S} se encontra na superfície do líquido, e a barra \mathbf{N} fica com um comprimento de \mathbf{1{,}0\text{m}} fora do mercúrio e vice-versa. Suponha que os fios e o mercúrio sejam condutores perfeitos e que a densidade das barras seja maior do que a do mercúrio. Quando o extremo \mathbf{S} da barra \mathbf{M} se encontra a uma altura \mathbf{h} da superfície do mercúrio, o valor da resistência elétrica \mathbf{r}, entre o fio \mathbf{F} e o mercúrio, em função da altura \mathbf{h}, é melhor representado pelo gráfico

Esquema de duas barras verticais N e M parcialmente imersas em um recipiente com mercúrio. As extremidades superiores T e S estão suspensas por fios F ligados às extremidades de uma alavanca que gira em torno do eixo E. Uma mão, junto ao rótulo O, movimenta a alavanca, com setas verticais indicando os movimentos. À direita, uma escala h (m) tem marcas em −0,50; 0; 0,50; 1,00 e 1,50, com o zero na superfície do mercúrio. A barra N tem sua extremidade T acima da extremidade S da barra M.

  1. A
    Gráfico de R (Ω) em função de h (m), com marcas horizontais em −0,5; 0; 0,5; 1,0 e 1,5 e verticais em R/8 e R/4. O traçado permanece em R/4 antes de h = 0, desce em linha reta até zero em h = 0,5, sobe em linha reta até R/4 em h = 1,0 e permanece nesse valor após esse ponto.
  2. B
    Gráfico de R (Ω) em função de h (m), com marcas horizontais em −0,5; 0; 0,5; 1,0 e 1,5 e verticais em R/8 e R/4. O traçado é nulo antes de h = 0 e após h = 1,0. Entre esses valores, apresenta uma curva côncava para baixo, com máximo R/4 em h = 0,5.
  3. C
    Gráfico de R (Ω) em função de h (m), com marcas horizontais em −0,5; 0; 0,5; 1,0 e 1,5 e verticais em R/8 e R/4. Há um segmento horizontal em R/4 entre h = 0 e h = 1,0 e segmentos sobre o eixo horizontal imediatamente antes de h = 0 e após h = 1,0.
  4. D
    Gráfico de R (Ω) em função de h (m), com marcas horizontais em −0,5; 0; 0,5; 1,0 e 1,5 e verticais em R e 2R. O traçado permanece em 2R antes de h = 0, forma uma curva côncava para cima entre h = 0 e h = 1,0, com mínimo R em h = 0,5, e permanece em 2R após h = 1,0.
  5. E
    Gráfico de R (Ω) em função de h (m), com marcas horizontais em −0,5; 0; 0,5; 1,0 e 1,5 e verticais em R e 2R. O traçado permanece em 2R antes de h = 0, decresce em linha reta até zero em h = 1,0, passando por R em h = 0,5, e permanece nulo após h = 1,0.
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Resolução comentada

Cada barra tem 1{,}5\ \text{m} e resistência R\ \Omega por metro. Só conta a parte da barra que está fora do mercúrio, pois o mercúrio é condutor perfeito: a corrente vai do fio F até o mercúrio pelo trecho emerso.

As duas barras ligam F ao mercúrio, então estão em paralelo. A resistência r é a associação das resistências dos trechos emersos.

Se S (de M) está na altura h, o trecho emerso de M é h (para 0\le h\le 1{,}5 não, veja abaixo). Pelo enunciado: com M totalmente imersa, S está em h=0 e N tem 1{,}0\ \text{m} fora. Com a alavanca, quando M sobe, N desce o mesmo tanto. Então:

  • trecho emerso de M: h, com resistência R\,h;
  • trecho emerso de N: 1{,}0-h, com resistência R(1{,}0-h).

Esses valores valem para 0\le h\le 1{,}0. Fora desse intervalo, uma das barras fica totalmente imersa (resistência nula) ou totalmente emersa no trecho limite, e o movimento é limitado pelo comprimento: para h<0 M está totalmente imersa (r = 0) e para h>1{,}0 N está totalmente imersa (r = 0).

Em paralelo:

r=\frac{R h\cdot R(1-h)}{R h+R(1-h)}=R\,h(1-h)

Isso é uma parábola côncava para baixo, nula em h=0 e h=1, com máximo em h=0{,}5:

r_{máx}=R\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=\frac{R}{4}

Fora do intervalo, uma das barras está totalmente imersa e curto-circuita o conjunto, então r=0. O gráfico é nulo antes de 0 e depois de 1{,}0, com arco de parábola de máximo R/4 em h=0{,}5.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá R/4 fora do intervalo e traça retas, sem a parábola do paralelo.
  • CSupõe r constante em R/4 entre 0 e 1, ignorando que r varia com h.
  • DAssocia as resistências em série (valor 2R·... ) e dá mínimo, em vez de paralelo.
  • EMostra comportamento linear com valores 2R, que não corresponde ao paralelo.

Assuntos: Associação de resistores, Resistência elétrica e leis de Ohm.

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Fonte: FUVEST 2003. Prova oficial ↗