Questão 53 (1º exame) da FUVEST 2002

Question

Um jovem escorrega por um tobogã aquático, com uma rampa retilínea, de comprimento L, como na figura, podendo o atrito ser desprezado. Partindo do alto, sem impulso, ele chega ao final da rampa com uma velocidade de cerca de 6\ \text{m/s}. Para que essa velocidade passe a ser de 12\ \text{m/s}, mantendo-se a inclinação da rampa, será necessário que o comprimento dessa rampa passe a ser aproximadamente de

Esquema de um tobogã aquático com rampa retilínea de comprimento L, terminando sobre a água, com o vetor da aceleração da gravidade g apontando para baixo.

A
L/2
B
L
C
1{,}4\ L
D
2\ L
E
4\ L

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 53 (1º exame) da FUVEST 2002

1º exame · Física: Energia mecânica e sua conservação

Texto-base das questões 41 a 60 · V

OBSERVAÇÃO (para todas as questões de Física): o valor da aceleração da gravidade na superfície da Terra é representado por g. Quando necessário adote: para g, o valor de 10\ \text{m}/s^2; para a massa específica (densidade) da água, o valor de 1.000\ \text{kg/m}^3 = 1\text{g/cm}^3; para o calor específico da água, o valor de 1{,}0\ \text{cal /(g.}^\circ\text{C)} ( 1\text{ caloria} \cong 4\text{ joules}).

Um jovem escorrega por um tobogã aquático, com uma rampa retilínea, de comprimento L, como na figura, podendo o atrito ser desprezado. Partindo do alto, sem impulso, ele chega ao final da rampa com uma velocidade de cerca de 6\ \text{m/s}. Para que essa velocidade passe a ser de 12\ \text{m/s}, mantendo-se a inclinação da rampa, será necessário que o comprimento dessa rampa passe a ser aproximadamente de

Esquema de um tobogã aquático com rampa retilínea de comprimento L, terminando sobre a água, com o vetor da aceleração da gravidade g apontando para baixo.

A
L/2
B
L
C
1{,}4\ L
D
2\ L
E
4\ L

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Resolução comentada

Sem atrito, a única força que realiza trabalho é o peso, então a energia mecânica se conserva. Para uma rampa de comprimento L e inclinação \theta, a altura é h = L\,\sen\theta.

Conservação de energia, partindo do repouso: mgh = \dfrac{mv^2}{2}, logo v^2 = 2gh = 2g\,L\,\sen\theta.
Com a inclinação mantida, \sen\theta é constante. Então v^2 é proporcional a L.
Se a velocidade passa de 6\ \text{m/s} para 12\ \text{m/s}, ela dobra, e v^2 fica 2^2 = 4 vezes maior.
Portanto o comprimento também deve ficar 4 vezes maior: L' = 4L.

Conferindo com números: 36 = 2\cdot 10\cdot h dá h = 1{,}8\ \text{m}. Para 12\ \text{m/s}: 144 = 20\,h' dá h' = 7{,}2\ \text{m}, que é 4\times 1{,}8. Como a inclinação é a mesma, o comprimento da rampa cresce na mesma proporção da altura.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem trata a relação como linear: dobrar a velocidade exige quadruplicar a altura, pois v^2 \propto h.

Por que as outras alternativas estão erradas

ADivide o comprimento por 2, invertendo a relação; a velocidade maior exige rampa maior.
BSupõe que o comprimento não altera a velocidade final, o que ignora que v^2 = 2gL\,\sen\theta.
CUsa \sqrt{2}\approx 1{,}4, como se L fosse proporcional a v^2 ao contrário, ou v \propto L^2.
DConsidera L proporcional a v, esquecendo que a velocidade aparece ao quadrado.

Assunto: Energia mecânica e sua conservação.

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Fonte: FUVEST 2002 · 1º exame. Prova oficial ↗