Questão 62 (1º exame) da FUVEST 1998

Question

– Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona a velocidade v de propagação do som, com a pressão P e a massa específica \rho (\text{kg/m}^3), num gás. No entanto, ele se recorda que a fórmula é do tipo v^\alpha = C \cdot P^\beta / \rho, onde C é uma constante adimensional. Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes \alpha e \beta são:

A
\alpha = 1, \beta = 2
B
\alpha = 1, \beta = 1
C
\alpha = 2, \beta = 1
D
\alpha = 2, \beta = 2
E
\alpha = 3, \beta = 2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 62 (1º exame) da FUVEST 1998

1º exame · Física: Unidades do SI e análise dimensional

– Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona a velocidade v de propagação do som, com a pressão P e a massa específica \rho (\text{kg/m}^3), num gás. No entanto, ele se recorda que a fórmula é do tipo v^\alpha = C \cdot P^\beta / \rho, onde C é uma constante adimensional. Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes \alpha e \beta são:

A
\alpha = 1, \beta = 2
B
\alpha = 1, \beta = 1
C
\alpha = 2, \beta = 1
D
\alpha = 2, \beta = 2
E
\alpha = 3, \beta = 2

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Resolução comentada

Na análise dimensional, os dois lados da fórmula precisam ter a mesma dimensão. Como C é adimensional, basta comparar v^\alpha com P^\beta/\rho.

Dimensões de cada grandeza no SI:

velocidade: [v] = \text{m/s} = L\,T^{-1}
pressão: [P] = \text{N/m}^2 = \text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} = M\,L^{-1}\,T^{-2}
massa específica: [\rho] = \text{kg/m}^3 = M\,L^{-3}

O lado direito é P^\beta/\rho:

\frac{(M\,L^{-1}\,T^{-2})^\beta}{M\,L^{-3}} = M^{\beta-1}\,L^{3-\beta}\,T^{-2\beta}

O lado esquerdo é v^\alpha = L^\alpha\,T^{-\alpha}.

Igualando os expoentes de cada dimensão:

Massa: \beta - 1 = 0, logo \beta = 1.
Comprimento: \alpha = 3 - \beta = 2.
Tempo: -\alpha = -2\beta, logo \alpha = 2. Confere.

Portanto v^2 = C\,P/\rho, isto é, v = \sqrt{C\,P/\rho}, forma conhecida da velocidade do som em um gás.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom \beta=2 sobraria massa na dimensão, pois M^{\beta-1} não se anularia.
BAcerta \beta=1, mas v^1 não tem as dimensões de P/\rho, que são L^2T^{-2}.
DCom \beta=2 a massa fica com expoente 1, e o lado direito não seria só de L e T.
E\beta=2 deixa massa sobrando e \alpha=3 não bate com o comprimento nem com o tempo.

Assunto: Unidades do SI e análise dimensional.

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Fonte: FUVEST 1998 · 1º exame. Prova oficial ↗