Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2026

2º dia · Matemática

Deseja-se instalar uma luminária a uma certa altura do teto. A luminária está posicionada no vértice P de uma pirâmide regular de base quadrada que, por sua vez, está inscrita em um cubo de lado 4 m, conforme a imagem a seguir. As projeções da luminária no plano do teto e chão são representadas, respectivamente, pelos pontos R e Q, que coincidem com a intersecção das diagonais dos quadrados DCGH e ABFE.

Cubo de aresta medindo 4 m com vértices A, B, C, D, E, F, G e H. No interior, uma pirâmide regular de base quadrada ABFE e vértice P. As projeções do ponto P no teto (face DCGH) e no chão (face ABFE) são os pontos R e Q, alinhados na vertical por uma linha pontilhada azul. O ponto S representa a projeção ortogonal de P no plano do fundo, conectado a P por uma linha tracejada vermelha. Arestas da pirâmide ligando P a A, B, E e F em linhas verdes contínuas.

a) Admitindo que as arestas laterais da pirâmide medem 3 m, a qual distância a luminária está do chão?

b) Supondo que as arestas laterais da pirâmide formam um ângulo de 45^\circ com o chão, qual é o comprimento, em metros, da aresta lateral da pirâmide?

c) Considerando a projeção ortogonal do ponto P no plano do fundo do cubo, representada pelo ponto S, qual será o comprimento da projeção da aresta PF no plano EFGH, se a altura PQ for de 2\sqrt{2}\text{ m}?

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a) Como a pirâmide é regular, Q é o centro do quadrado ABFE, de lado 4 m. A distância de Q a cada vértice é metade da diagonal: \frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\ \text{m}.

O triângulo PQA é retângulo em Q, com hipotenusa PA=3 (aresta lateral) e cateto QA=2\sqrt{2}:

PQ^2 = 3^2-(2\sqrt{2})^2 = 9-8 = 1

Logo PQ=1 m.

A luminária está a 1 m do chão.

b) A aresta lateral, por exemplo PA, forma 45^\circ com o chão, ou seja, com a reta QA, que é a projeção de PA no plano do chão. No triângulo retângulo PQA:

\cos 45^\circ=\frac{QA}{PA}\ \Rightarrow\ PA=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}=4

Conferindo: com 45^\circ, PQ=QA=2\sqrt{2} e PA^2=8+8=16, então PA=4.

A aresta lateral mede 4 m.

c) O plano do fundo é o plano EFGH. Como P está na vertical que passa pelo centro Q do chão, e Q fica a 2 m da face EFGH, a projeção ortogonal S de P nesse plano está sobre a vertical que passa pelo ponto médio M de EF, a uma altura MS=PQ=2\sqrt{2} m. Além disso, PS=2 m.

A projeção de PF no plano EFGH é o segmento SF. No triângulo retângulo SMF, temos MF=2 (metade da aresta) e MS=2\sqrt{2}:

SF^2=2^2+(2\sqrt{2})^2=4+8=12\ \Rightarrow\ SF=2\sqrt{3}

Conferindo: PF^2=PS^2+SF^2=4+12=16, que dá PF=4 m, coerente com o item b.

A projeção de PF mede 2\sqrt{3} m (≈ 3,46 m).

Assuntos: geometria espacial, pirâmide, projeção ortogonal.

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