Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2026
Considere a função real modular f(x) = \frac{|x|}{d}, onde d > 0.
a) Quais são os pontos de interseção entre a reta y = 1 e o gráfico de f(x) para d = 1?
b) Qual a área da região obtida à direita do eixo Oy, abaixo da reta y = 2 e acima do gráfico de f(x) para d = 2?
c) Qual é a área da região formada abaixo da reta y = d e acima do gráfico de f(x)?
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Resolução comentada
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a) Para d=1, f(x)=|x|. A interseção com y=1 ocorre quando |x|=1, ou seja, x=1 ou x=-1.
Os pontos são (-1,\,1) e (1,\,1).
Pontos de interseção: (-1,1) e (1,1).
b) Para d=2, f(x)=\frac{|x|}{2}. À direita do eixo Oy temos x\ge 0, então f(x)=\frac{x}{2}.
A reta y=2 encontra o gráfico quando \frac{x}{2}=2, isto é, x=4.
A região (acima de y=x/2, abaixo de y=2, com x\ge 0) é o triângulo de vértices (0,0), (0,2) e (4,2). Ele tem base 2 sobre o eixo Oy e altura 4 (distância horizontal até o vértice (4,2)):
Área =4.
c) Agora f(x)=\frac{|x|}{d} e a reta é y=d. A interseção ocorre quando \frac{|x|}{d}=d, ou seja, |x|=d^2, em x=\pm d^2.
A região é um triângulo de vértices (0,0), (-d^2,d) e (d^2,d). Sua base, sobre a reta y=d, mede 2d^2 e sua altura mede d:
Confira com o item (b): metade da região, para x\ge0, vale d^3/2. Para d=2 e y=2 isso dá 4, o mesmo valor do item (b), pois nesse caso a reta y=2 é a própria y=d.
Área =d^3.
Assuntos: função modular, área de triângulo, interseção de gráficos.
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