Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2026

Question

“Tudo por 50% do dobro” é uma frase bem conhecida sobre ofertas enganosas, que virou meme. Isso basicamente porque um produto, após sofrer um aumento de 100%, passando a custar o dobro, precisa de um desconto de 50% para voltar ao seu valor inicial, ou seja, permanecer com o valor inalterado após o reajuste seguido do desconto. Com base nessa ideia, responda:

a) Qual seria o percentual de desconto necessário para que um produto que foi reajustado em 50% volte ao valor original?

b) Admita que um produto que custa P seja reajustado em x\% e, posteriormente, com um desconto de y\%, volte a custar o mesmo valor P. Explicite y em função de x no modelo apresentado, isto é, exiba o desconto y em função do reajuste x.

c) Suponha que um produto tem um reajuste de m\% e depois um desconto de n\%, voltando a custar o valor inicial. Considere que m e n são inteiros maiores que zero. Qual seria o menor valor de m para que n seja também um inteiro?

Answer 1

Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2026

2º dia · Matemática

“Tudo por 50% do dobro” é uma frase bem conhecida sobre ofertas enganosas, que virou meme. Isso basicamente porque um produto, após sofrer um aumento de 100%, passando a custar o dobro, precisa de um desconto de 50% para voltar ao seu valor inicial, ou seja, permanecer com o valor inalterado após o reajuste seguido do desconto. Com base nessa ideia, responda:

a) Qual seria o percentual de desconto necessário para que um produto que foi reajustado em 50% volte ao valor original?

b) Admita que um produto que custa P seja reajustado em x\% e, posteriormente, com um desconto de y\%, volte a custar o mesmo valor P. Explicite y em função de x no modelo apresentado, isto é, exiba o desconto y em função do reajuste x.

c) Suponha que um produto tem um reajuste de m\% e depois um desconto de n\%, voltando a custar o valor inicial. Considere que m e n são inteiros maiores que zero. Qual seria o menor valor de m para que n seja também um inteiro?

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a) Um produto com valor P, que sofre um reajuste de 50%, passa a custar 1,50P e para que volte a custar P, temos

P = 1{,}50P(1 - y\%) \Rightarrow 1 - y\% = \frac{P}{1{,}5P} = 0{,}666\dots \Rightarrow y\% = 0{,}333\dots, ou seja, y = 33{,}33\%.

b) Temos

P = P(1 + x\%)(1 - y\%) = P\left(\frac{100+x}{100}\right)\left(\frac{100-y}{100}\right) \Rightarrow 10.000 = (100 + x)(100 - y), sendo assim

\frac{10000}{100 + x} = 100 - y \Rightarrow y = 100 - \frac{10000}{100 + x} = \frac{100x}{100 + x}

c) Para este item, pode-se ou não utilizar o anterior. Sem utilizar, podemos verificar que o primeiro valor inteiro positivo de m que torna n também inteiro positivo é 25 (tornando n = 20).

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Resolução comentada

a) Seja P o preço original. Após o reajuste de 50%, o preço é 1{,}5P. Com um desconto de d (em fração), o preço volta a P:

1{,}5P\,(1-d)=P \Rightarrow 1-d=\frac{2}{3} \Rightarrow d=\frac{1}{3}

O desconto necessário é de \frac{1}{3}\approx 33{,}3\%, e não de 50%. O desconto incide sobre um preço já maior, então basta um percentual menor.

Resposta: \dfrac{100}{3}\% \approx 33{,}3\%.

b) O reajuste de x\% multiplica o preço por 1+\frac{x}{100}. O desconto de y\% multiplica por 1-\frac{y}{100}. Para voltar a P:

P\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{y}{100}\right)=P

1-\frac{y}{100}=\frac{100}{100+x}\Rightarrow \frac{y}{100}=\frac{x}{100+x}

y=\frac{100x}{100+x}

Para x=50 obtemos y=\frac{5000}{150}=33{,}3, que confere com o item (a).

Resposta: y=\dfrac{100x}{100+x}.

c) Pelo item (b), com m e n inteiros positivos, precisamos que n=\dfrac{100m}{100+m} seja inteiro.

Escrevemos 100m=100(100+m)-10000. Assim:

n=100-\frac{10000}{100+m}

Portanto n é inteiro se, e somente se, (100+m) divide 10000=2^4\cdot 5^4.

Como m>0, precisamos de um divisor de 10000 maior que 100. Os divisores de 10000 são da forma 2^a5^b com a,b\le 4. Os próximos divisores após 100 são 125, 200, 250, 400, ... Não há nenhum entre 100 e 125.

Logo 100+m=125, ou seja, m=25. Então n=100-\frac{10000}{125}=100-80=20.

Conferindo: 1{,}25\cdot 0{,}8=1.

Resposta: m=25 (com n=20).

Assuntos: porcentagem, funções, divisibilidade.

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