Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2026

Question

Na parte frontal do casco de um submarino está localizado um sonar esférico de raio 3 m para detectar objetos ao seu redor. O sonar emite ondas que se propagam em todas as direções, formando esferas de raio igual à distância entre o centro do sonar até a superfície do objeto detectado. O centro do sonar está a uma profundidade de 120 m em relação à superfície da água.

Ilustração de um submarino amarelo submerso a 120 m de profundidade em relação à superfície da água. Na proa há o sonar esférico, com uma ampliação em destaque à direita mostrando o centro do sonar e a linha horizontal do submarino que passa por ele.

a) Qual a distância mínima do centro do sonar até a superfície do objeto para que ele seja detectado?

b) Se o sonar detecta um objeto a uma distância de 10 m do seu centro, em um ponto localizado a 45^\circ acima da linha horizontal que passa pelo centro do sonar, qual é a profundidade do objeto em relação à superfície da água?

c) Se o sonar detecta um objeto a uma profundidade de 170 m abaixo da superfície da água e a 30^\circ abaixo da linha horizontal, que passa pelo centro do sonar, qual é a distância do objeto até o centro do sonar?

Answer 1

Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2026

2º dia · Matemática

Na parte frontal do casco de um submarino está localizado um sonar esférico de raio 3 m para detectar objetos ao seu redor. O sonar emite ondas que se propagam em todas as direções, formando esferas de raio igual à distância entre o centro do sonar até a superfície do objeto detectado. O centro do sonar está a uma profundidade de 120 m em relação à superfície da água.

Ilustração de um submarino amarelo submerso a 120 m de profundidade em relação à superfície da água. Na proa há o sonar esférico, com uma ampliação em destaque à direita mostrando o centro do sonar e a linha horizontal do submarino que passa por ele.

a) Qual a distância mínima do centro do sonar até a superfície do objeto para que ele seja detectado?

b) Se o sonar detecta um objeto a uma distância de 10 m do seu centro, em um ponto localizado a 45^\circ acima da linha horizontal que passa pelo centro do sonar, qual é a profundidade do objeto em relação à superfície da água?

c) Se o sonar detecta um objeto a uma profundidade de 170 m abaixo da superfície da água e a 30^\circ abaixo da linha horizontal, que passa pelo centro do sonar, qual é a distância do objeto até o centro do sonar?

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a) A distância mínima é o comprimento do raio do sonar, ou seja, 3 m.

b) Como o objeto está localizado a 45º acima da linha horizontal temos a situação de um triângulo retângulo. Assim, para descobrir dv, temos que sen(45^\text{o}) = \frac{\text{dv}}{10}. Logo \text{dv} = 10 \times sen(45^\text{o}) = 10\frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \cong 7{,}07\text{ m}. Dado que a distância da superfície da água até o centro é de 120 m, então a profundidade do objeto é de 120 - 7{,}07 = 112{,}93\text{ m}.

[Figura: Esquema representando a superfície da água e o submarino a uma profundidade de 120 m. A partir da linha horizontal do submarino, traça-se um ângulo de 45º com segmento de 10 m até um objeto, delimitando a distância vertical dv em um triângulo retângulo.]

c) Como ângulo é de 30º em relação à linha horizontal do sonar e o objeto está a uma profundidade de 170 m, ou seja, 50 m abaixo da linha horizontal que passa pelo centro do sonar, temos que sen(30^\text{o}) = \frac{50}{d}. Logo, \text{d} = \frac{50}{sen(30^\text{o})} = 100\text{ m}. Sendo assim, a distância entre o objeto e o centro do sonar é de 100 m.

[Figura: Esquema mostrando o submarino a 120 m da superfície da água. Abaixo da linha horizontal do submarino, forma-se um ângulo de 30º com a hipotenusa d até um objeto posicionado a uma distância vertical de 50 m abaixo dessa linha, alinhado à profundidade total de 170 m.]

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Resolução comentada

a) A onda sai do centro do sonar e forma esferas de raio igual à distância até o objeto. O sonar é uma esfera de raio 3 m, e o objeto fica fora dele, no máximo encostado em sua superfície. Então a menor distância possível entre o centro do sonar e a superfície do objeto é o próprio raio do sonar.

Distância mínima: 3 m.

b) Pelo ponto do objeto, trace a vertical até a linha horizontal que passa pelo centro do sonar. Isso forma um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 m e cujo ângulo com a horizontal é 45^\circ. O objeto está acima da linha, então a altura em relação ao centro do sonar é o cateto oposto:

h = 10\,\sen 45^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt2}{2} = 5\sqrt2 \approx 7{,}07\ \text{m}

Como o objeto está h acima do centro, que está a 120 m de profundidade, sua profundidade é:

120 - 5\sqrt2 \approx 120 - 7{,}07 \approx 112{,}9\ \text{m}

Profundidade: 120-5\sqrt2 \approx 112{,}9\ \text{m}.

c) Agora o objeto está abaixo da linha horizontal. A diferença de profundidade entre o objeto e o centro do sonar é:

170 - 120 = 50\ \text{m}

Esse valor é o cateto oposto ao ângulo de 30^\circ no triângulo retângulo, e a distância d procurada é a hipotenusa:

d\,\sen 30^\circ = 50 \;\Rightarrow\; d\cdot\frac12 = 50 \;\Rightarrow\; d = 100\ \text{m}

Distância até o centro do sonar: 100 m.

Assuntos: trigonometria no triângulo retângulo, geometria espacial (esfera).

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