Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2026

2º dia · Matemática

A palavra ARARA, para além da beleza da ave e de ser um palíndromo, é comumente utilizada em exercícios de análise combinatória e probabilidade, pois é formada por cinco letras, com apenas duas letras distintas. Supondo que as letras dessa palavra estão numa urna em que a retirada de cada uma das letras é equiprovável, responda:

a) Qual a probabilidade de sortear duas letras, sem reposição, formando a palavra AR, isto é, sortear a primeira letra A e, sem a reposição, sortear a segunda letra R?

b) Qual a probabilidade de sortear 5 letras, sem reposição, e formar novamente a palavra ARARA?

c) Supondo agora que as letras colocadas na urna são coloridas, isto é, \mathbf{\textcolor{#1b5e90}{A}\textcolor{#cc0000}{R}\textcolor{#e6a100}{A}\textcolor{#1b7e5a}{R}\textcolor{#f09b88}{A}}, qual a probabilidade de sortear novamente, sem reposição, 5 letras que formem a palavra \mathbf{\textcolor{#1b5e90}{A}\textcolor{#cc0000}{R}\textcolor{#e6a100}{A}\textcolor{#1b7e5a}{R}\textcolor{#f09b88}{A}} com a mesma coloração inicial?

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a) A urna tem 5 letras: 3 A e 2 R. Na primeira retirada, a probabilidade de sair A é \frac{3}{5}. Sem reposição, restam 4 letras: 2 A e 2 R. A probabilidade de sair R na segunda retirada é \frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Multiplicando as probabilidades (eventos sucessivos):

P=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}

Resposta: \frac{3}{10} (30%).

b) Para formar ARARA na ordem A, R, A, R, A, calculamos a probabilidade de cada retirada, sempre com o que sobrou na urna:

  1. 1ª: A, com \frac{3}{5}.
  2. 2ª: R, com \frac{2}{4}.
  3. 3ª: A, restam 2 A em 3 letras, \frac{2}{3}.
  4. 4ª: R, resta 1 R em 2 letras, \frac{1}{2}.
  5. 5ª: A, resta 1 A em 1 letra, \frac{1}{1}.
P=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{12}{120}=\frac{1}{10}

Conferindo por contagem: há \frac{5!}{3!\,2!}=10 sequências distintas possíveis e só uma é ARARA, logo \frac{1}{10}.

Resposta: \frac{1}{10} (10%).

c) Agora as 5 letras são todas distinguíveis pela cor. O total de sequências equiprováveis é 5!=120 e só uma reproduz exatamente a ordem original com as mesmas cores.

Pelo método sucessivo: \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{1}{120}.

Resposta: \frac{1}{120}.

Assuntos: probabilidade, análise combinatória.

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