Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2026

2º dia · Física

O Homem-Aranha está na parede do 7º andar de um prédio olhando a vizinhança. Ele observa uma pessoa que está parada no canteiro central e corre risco de ser atropelada. Imediatamente, o super-herói lança uma teia em um poste e segue na direção dela para salvá-la. Ele pega a pessoa no ponto mais baixo da sua trajetória. Os dois continuam juntos até uma altura máxima e voltam.

Uma professora de Física, ao observar a cena, tenta estimar algumas informações do movimento. Ela assume que:
(i) o movimento pendular é bidimensional;
(ii) a altura inicial do Homem-Aranha é de H = 21\text{ m} do chão, pois cada andar tem cerca de 3 m de altura;
(iii) a velocidade inicial do Homem-Aranha, ao deixar o prédio, é zero, pois ele simplesmente se deixou cair, sem dar nenhum impulso na parede do prédio;
(iv) ele pegou a pessoa quando estava a d = 1\text{ m} do chão;
(v) houve perda de energia quando ele pegou a pessoa, devido à colisão perfeitamente inelástica; e
(vi) a pessoa e ele têm aproximadamente a mesma massa, M = 60\text{ kg}.

A figura ao lado ilustra esquematicamente o movimento descrito.

Esquema do movimento pendular do Homem-Aranha. À esquerda, na parede do prédio, o Homem-Aranha (massa M) está a uma altura H do solo com uma teia presa ao topo de um poste central. A trajetória pontilhada desce até o ponto mais baixo a uma distância d do solo, onde se encontra uma pessoa (massa M) em frente a um carro. À direita, ambos sobem juntos (massa 2M) suspensos pela teia até uma altura máxima indicada por linha pontilhada.

Utilizando as informações assumidas pela professora, responda:

a) Qual a velocidade do Homem-Aranha quando ele pega a pessoa?

b) Qual a razão entre as velocidades imediatamente depois (v_{\text{depois}}) e antes (v_{\text{antes}}) de o Homem-Aranha pegar a pessoa (v_{\text{depois}} / v_{\text{antes}})?

c) Qual o valor da máxima altura do movimento do Homem-Aranha e da pessoa, juntos, em relação ao chão?

Note e adote:
Aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2
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Resolução comentada

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a) Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica do Homem-Aranha se conserva durante o movimento pendular (a tensão na teia não realiza trabalho). Ele parte do repouso a H = 21\ \text{m} e chega ao ponto mais baixo a d = 1\ \text{m}, então a queda vertical é H - d = 20\ \text{m}.

Mg(H-d) = \frac{1}{2}Mv_{\text{antes}}^2
v_{\text{antes}} = \sqrt{2g(H-d)} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 20} = \sqrt{400} = 20\ \text{m/s}

Resposta: 20\ \text{m/s} (72 km/h).

b) Na colisão perfeitamente inelástica, os dois ficam juntos. No instante da colisão, a pessoa está parada e o sistema é tratado como isolado na direção horizontal do movimento (a tensão e o peso são verticais no ponto mais baixo). Logo, a quantidade de movimento se conserva:

M v_{\text{antes}} + M\cdot 0 = 2M\,v_{\text{depois}}
\frac{v_{\text{depois}}}{v_{\text{antes}}} = \frac{1}{2}

Assim, v_{\text{depois}} = 10\ \text{m/s}.

Resposta: v_{\text{depois}}/v_{\text{antes}} = 1/2 = 0{,}5.

c) Após a colisão, a energia mecânica do conjunto (massa 2M) volta a se conservar. A energia cinética logo depois da colisão se converte em energia potencial até a altura máxima. Medindo a altura a partir do ponto mais baixo (d = 1\ \text{m} do chão):

2M g\,h = \frac{1}{2}(2M)v_{\text{depois}}^2 \Rightarrow h = \frac{v_{\text{depois}}^2}{2g} = \frac{10^2}{20} = 5\ \text{m}

Essa é a altura acima do ponto de colisão. Em relação ao chão:

h_{\text{máx}} = d + h = 1 + 5 = 6\ \text{m}

Confirmação: como a velocidade caiu à metade, a altura atingida cai a um quarto dos 20\ \text{m} de desnível, isto é, 5\ \text{m}.

Resposta: 6\ \text{m} acima do chão.

Assuntos: conservação da energia mecânica, colisão perfeitamente inelástica, pêndulo.

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