Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2025

Question

A partir do recorte de um quadrado cujo lado mede 10 m, um artista plástico fez uma obra em metal representada na Figura 1, cuja planificação é mostrada na Figura 2.

Figura 1: Obra em metal dobrada no espaço com vértices D, A, B, C e sombra DMC projetada com ângulo reto em D e ângulo alfa em C.

Figura 2: Planificação da obra a partir de um quadrado de lado 10 m, indicando os pontos D, C, A, B e ângulos retos.

Observe as Figuras 1 e 2 para responder:

a) Supondo que a medida da área da sombra externa da escultura, representada pelo triângulo DMC, seja o dobro da medida da área do triângulo DAC, qual é a medida do ângulo \alpha, indicado na Figura 1?

b) Supondo que a medida da área do triângulo DMC seja k vezes a medida da área do triângulo DAC, determine o valor de k em função de \alpha.

c) Qual é a medida da projeção ortogonal do segmento AB no solo, supondo que o ângulo desse segmento em relação ao solo seja 60^\circ?

Note e adote:
sen\ (60^\circ) = \sqrt{3}/2 \cos\ (60^\circ) = 1/2

Answer 1

Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2025

2º dia · Matemática

A partir do recorte de um quadrado cujo lado mede 10 m, um artista plástico fez uma obra em metal representada na Figura 1, cuja planificação é mostrada na Figura 2.

Figura 1: Obra em metal dobrada no espaço com vértices D, A, B, C e sombra DMC projetada com ângulo reto em D e ângulo alfa em C.

Figura 2: Planificação da obra a partir de um quadrado de lado 10 m, indicando os pontos D, C, A, B e ângulos retos.

Observe as Figuras 1 e 2 para responder:

a) Supondo que a medida da área da sombra externa da escultura, representada pelo triângulo DMC, seja o dobro da medida da área do triângulo DAC, qual é a medida do ângulo \alpha, indicado na Figura 1?

b) Supondo que a medida da área do triângulo DMC seja k vezes a medida da área do triângulo DAC, determine o valor de k em função de \alpha.

c) Qual é a medida da projeção ortogonal do segmento AB no solo, supondo que o ângulo desse segmento em relação ao solo seja 60^\circ?

Note e adote:
sen\ (60^\circ) = \sqrt{3}/2 \cos\ (60^\circ) = 1/2

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a) Uma maneira de calcular a área de \Delta DAC é:

\frac{5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}}{2} = 25

Outra maneira é considerar que essa área é 0{,}25 \times 100 = 25.

Então a área \Delta DMC é 50

Logo, 50 = \frac{\overline{DC} \cdot \overline{MD}}{2} = \frac{10 \cdot \overline{MD}}{2}, do que resulta \overline{MD} = 10

Portanto, \text{tg}(\alpha) = \frac{\overline{MD}}{\overline{DC}} = 1, então, \alpha = 45^\circ.

b) Área de \Delta DMC = k \cdot \text{área de } \Delta DAC

Área de \Delta DMC = \frac{\overline{DC} \cdot \overline{MD}}{2} = \frac{10}{2} \cdot \overline{MD}

Pelo enunciado, 5 \cdot \overline{MD} = k \cdot 25

Então, \overline{MD} = 5\ k

tg(\alpha) = \frac{\overline{MD}}{\overline{DC}} = \frac{5k}{10}

k(\alpha) = 2 \cdot tg(\alpha)

c) Como \overline{AB} = 5, seja p a projeção de AB, temos:

cos 60^\circ = \frac{p}{5} \rightarrow p = 5\cos(60^\circ) = \frac{5}{2} = 2{,}5

Logo, a medida da projeção é 2,5 m.

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Resolução comentada

a) Na planificação, DC = 10\ \text{m} (lado do quadrado) e o ângulo em A é reto, com DA \perp AC. Como DC e DE são lados do quadrado, o triângulo CDE é isósceles e retângulo em D. Então A, pé da perpendicular de D sobre a diagonal CE, é o ponto médio da diagonal. Assim DA = AC = 5\sqrt{2}\ \text{m}.

Área do triângulo DAC:

\frac{5\sqrt2\cdot 5\sqrt2}{2}=25\ \text{m}^2

A sombra DMC tem ângulo reto em D, base DC=10 e ângulo \alpha em C. Logo DM = 10\,\tg\alpha e

\text{área}(DMC)=\frac{10\cdot 10\,\tg\alpha}{2}=50\,\tg\alpha .

Se essa área é o dobro de 25, então 50\,\tg\alpha = 50, ou seja, \tg\alpha = 1.

\alpha = 45^\circ

b) Usando as áreas do item anterior:

k=\frac{\text{área}(DMC)}{\text{área}(DAC)}=\frac{50\,\tg\alpha}{25}=2\,\tg\alpha .

Conferência: para k=2 temos \tg\alpha=1, o que bate com o item (a).

k = 2\,\tg\alpha

c) Como A é o centro do quadrado, está a 5\ \text{m} do lado direito. B está nesse lado, na mesma altura de A, pois AB é horizontal e perpendicular a esse lado. Portanto AB = 5\ \text{m}.

Se AB forma 60^\circ com o solo, a projeção ortogonal é o cateto adjacente a esse ângulo:

AB\cdot\cos 60^\circ = 5\cdot\frac12 = 2{,}5\ \text{m}.

2{,}5\ \text{m}

Assuntos: geometria plana, áreas de triângulos, trigonometria no triângulo retângulo.

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