Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2025
Considere o quociente (k_n) = \frac{n}{2^b}, em que n, b \in \mathbb{N}^*.
a) Para b = 3, (k_n) forma uma progressão. Indique se a progressão formada é aritmética ou geométrica e forneça o valor da razão.
b) Se n é um número par e b \le 3, qual é o número máximo de casas decimais de k_n?
c) Qual é o menor n, em função de b, tal que k_1 + k_2 + \cdots + k_n é um número inteiro?
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Resolução comentada
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a) Para b=3, k_n=\frac{n}{8}. A diferença entre termos consecutivos é constante:
Portanto a progressão é aritmética, com primeiro termo \frac18 e razão \frac18. Ela não é geométrica, porque \frac{k_{n+1}}{k_n}=\frac{n+1}{n} não é constante.
Resposta: progressão aritmética, de razão \frac{1}{8}.
b) Se n é par, escrevemos n=2m com m\in\mathbb{N}^*. Então k_n=\frac{2m}{2^b}=\frac{m}{2^{b-1}}. Analisamos cada valor possível de b:
- b=1: k_n=m, que é inteiro e tem 0 casa decimal.
- b=2: k_n=\frac{m}{2}, que tem no máximo 1 casa decimal (por exemplo, 0{,}5).
- b=3: k_n=\frac{m}{4}, que tem no máximo 2 casas decimais (por exemplo, 0{,}25 para m=1, ou seja, n=2).
Uma fração \frac{m}{2^s} tem no máximo s casas decimais, e esse máximo é atingido quando m é ímpar. Logo o máximo geral ocorre em b=3.
Resposta: 2 casas decimais.
c) A soma é
Para ser inteira, n(n+1) precisa ser divisível por 2^{b+1}. Os números n e n+1 são consecutivos, logo primos entre si, e apenas um deles é par. Assim, todo o fator 2^{b+1} tem de dividir um só deles: 2^{b+1}\mid n ou 2^{b+1}\mid n+1.
- Se 2^{b+1}\mid n+1, o menor valor é n+1=2^{b+1}, ou seja, n=2^{b+1}-1.
- Se 2^{b+1}\mid n, o menor valor é n=2^{b+1}, que é maior que o anterior.
Verificação para b=1: n=3 dá \frac{3\cdot4}{4}=3, inteiro, enquanto n=1 e n=2 dão \frac{2}{4} e \frac{6}{4}, que não são inteiros.
Resposta: n=2^{b+1}-1.
Assuntos: progressões aritméticas, representação decimal, somatórios e divisibilidade.
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