Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2025

2º dia · Matemática

O sistema Price, também conhecido como Sistema Francês de Amortização, é um modelo muito utilizado para financiamentos, como os de celulares e veículos. A principal característica desse sistema é que as parcelas são fixas durante todo o período do financiamento, ou seja, o valor que se paga periodicamente é o mesmo do início ao fim. A parcela do financiamento no sistema Price é composta por duas partes: amortização e juros. Nesse sistema, ao longo do tempo, o valor pago a título de juros diminui à medida que o valor pago a título de amortização aumenta, mantendo o valor total da parcela constante, conforme o modelo matemático:

V = \frac{P}{(1 + j)} + \frac{P}{(1 + j)^2} + \frac{P}{(1 + j)^3} + \cdots + \frac{P}{(1 + j)^n} = \frac{P}{(1 + j)} \left[ 1 + \frac{1}{(1 + j)} + \frac{1}{(1 + j)^2} + \cdots + \frac{1}{(1 + j)^{n-1}} \right]

em que V corresponde ao valor total financiado, j representa a taxa de juros cobrada mensalmente, n é o número de parcelas mensais a serem pagas e P é o valor de cada uma das parcelas.

O valor de n é um número inteiro, dado que é o número de parcelas do financiamento. Contudo, ao modelar matematicamente tal problema, pode-se deparar com valores não inteiros. Existem calculadoras que, por exemplo, mesmo que o valor modelado matematicamente para n não seja inteiro, apresentam como resposta padrão n como sendo o menor inteiro maior que o valor obtido com o modelo matemático. Por exemplo, considerando um valor financiado de R$19.000,00, que será cobrado a uma taxa de juros de 1% ao mês, com parcelas fixas de R$500,00, a calculadora apresenta como solução n = 49.

a) Supondo a ausência de juros, ou seja, uma taxa de juros de 0% ao mês, em quantas parcelas de R$500,00 poderia ser quitado o financiamento de R$19.000,00?

b) Considerando uma taxa de juros de 1% ao mês, parcelas fixas de R$500,00 e n = 49, calcule o valor financiado V obtido por meio do modelo matemático apresentado.

c) Assumindo que n não precisa ser inteiro no modelo matemático apresentado, encontre n para um valor financiado de R$19.000,00 que será pago em parcelas fixas de R$500,00 a uma taxa de juros de 1% ao mês.

Note e adote:
No item (b), utilize, se necessário: (1{,}01)^{-48} = 0{,}620260 ; (1{,}01)^{-49} = 0{,}614119 ; (1{,}01)^{-50} = 0{,}608039.
No item (c), a resposta pode ser apresentada em função de logaritmo.
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Resolução comentada

Resolução comentada

a) Sem juros, cada parcela de R$ 500,00 abate exatamente R$ 500,00 da dívida. Basta dividir o valor financiado pelo valor da parcela:

n = \frac{19\,000}{500} = 38

Resposta: 38 parcelas.

b) O colchete do modelo é uma soma de PG com n termos, primeiro termo 1 e razão q=\frac{1}{1+j}. Então:

V=\frac{P}{1+j}\cdot\frac{1-(1+j)^{-n}}{1-\frac{1}{1+j}}=\frac{P}{1+j}\cdot\frac{1-(1+j)^{-n}}{\frac{j}{1+j}}=P\cdot\frac{1-(1+j)^{-n}}{j}

Com P=500, j=0{,}01 e n=49, usando (1{,}01)^{-49}=0{,}614119:

  1. 1-0{,}614119=0{,}385881
  2. \dfrac{0{,}385881}{0{,}01}=38{,}5881
  3. V=500\cdot 38{,}5881=19\,294{,}05

Resposta: V \approx R$ 19.294,05.

c) Usamos a mesma fórmula, agora com V=19\,000 e n desconhecido:

19\,000=500\cdot\frac{1-(1{,}01)^{-n}}{0{,}01}\Rightarrow 38=\frac{1-(1{,}01)^{-n}}{0{,}01}
1-(1{,}01)^{-n}=0{,}38\Rightarrow (1{,}01)^{-n}=0{,}62

Aplicando logaritmo:

n=-\frac{\log 0{,}62}{\log 1{,}01}=\frac{\log\frac{100}{62}}{\log 1{,}01}=\frac{\log\frac{50}{31}}{\log 1{,}01}

Numericamente, n\approx 48{,}04. Isso confere com o enunciado: como (1{,}01)^{-48}=0{,}620260>0{,}62, o valor de n é um pouco maior que 48, e a calculadora arredonda para 49.

Resposta: n=\dfrac{\log(50/31)}{\log(1{,}01)}\approx 48{,}04.

Assuntos: progressão geométrica, matemática financeira, logaritmos.

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