Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2025
Uma papelaria oferece três diferentes promoções:
| Composição | Valor total (R$) | |
|---|---|---|
| Promoção I | 2 Cadernos de capa dura + 1 Caixa de lápis de cor + 1 Conjunto de canetas | 86,00 |
| Promoção II | 3 Cadernos de capa dura + 3 Caixas de lápis de cor + 3 Conjuntos de canetas | 174,00 |
| Promoção III | 3 Cadernos de capa dura + 2 Caixas de lápis de cor + 2 Conjuntos de canetas | 142,00 |
Com base nessas informações, responda:
a) Escreva um sistema de três equações cujas incógnitas C, L e N representam, respectivamente, os preços do caderno de capa dura, da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas.
b) Considerando apenas as promoções II e III, qual é a soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas?
c) A soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas é a mesma nas três promoções e o valor dessa soma depende do preço do caderno de capa dura. Suponha que, em apenas duas das promoções, o preço do caderno de capa dura seja o mesmo, sendo esse preço maior que a soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas. Nessas condições, quais promoções possuem o mesmo preço para o caderno de capa dura?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Cada promoção dá uma equação, somando os preços dos itens:
Sistema: 2C+L+N=86, 3C+3L+3N=174 e 3C+2L+2N=142.
b) Em II e III, L e N aparecem sempre somados. Chame S=L+N.
- Dividindo II por 3: C+S=58, logo C=58-S.
- Em III: 3C+2S=142. Substituindo, 3(58-S)+2S=142, ou seja, 174-S=142.
- Então S=32 (e C=26).
Observe que, com esses valores, a promoção I daria 2\cdot26+32=84\neq 86. O sistema do item (a) é impossível, e por isso o enunciado pede só II e III neste item.
A soma dos preços da caixa de lápis e do conjunto de canetas é R$ 32,00.
c) Agora S=L+N é o mesmo nas três promoções, e cada uma fornece o preço do caderno em função de S:
- I: 2C+S=86 \Rightarrow C_I=\dfrac{86-S}{2}
- II: 3C+3S=174 \Rightarrow C_{II}=58-S
- III: 3C+2S=142 \Rightarrow C_{III}=\dfrac{142-2S}{3}
Vamos igualar os preços dois a dois e aplicar a condição C>S:
- I = II: 86-S=116-2S \Rightarrow S=30 e C=28. Como 28<30, a condição C>S falha.
- II = III: 174-3S=142-2S \Rightarrow S=32 e C=26. Como 26<32, a condição falha.
- I = III: 3(86-S)=2(142-2S) \Rightarrow 258-3S=284-4S \Rightarrow S=26 e C=30. Como 30>26, a condição é satisfeita. Nesse caso C_{II}=58-26=32\neq 30, de modo que apenas duas promoções coincidem, como o enunciado pede.
As promoções I e III têm o mesmo preço para o caderno (R$ 30,00, com L+N= R$ 26,00).
Assuntos: sistemas lineares, equações, problemas de contagem de preços.
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