Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2025

Question

O “efeito estilingue” é o nome que se dá à modificação do módulo e da direção da velocidade de uma espaçonave quando ela passa nas imediações de um planeta. Ele foi utilizado, por exemplo, para encurtar em mais de 5 anos a duração da viagem da sonda New Horizons até Plutão, passando por Júpiter. A figura ao lado ilustra o efeito em uma situação na qual uma sonda de massa 500 kg, viajando inicialmente para a direita, move-se em direção a um planeta de massa 2{,}0 \times 10^{27}\text{ kg} que viaja para a esquerda. Como a massa da sonda é desprezível frente à do planeta, a trajetória deste último praticamente não se altera, embora parte de sua energia cinética seja transferida para a sonda. Nos pontos A e B indicados na figura, as distâncias entre a sonda e o planeta são tais que a energia potencial gravitacional associada à interação entre eles pode ser desprezada.

Gráfico de coordenada y por coordenada x (em unidades arbitrárias) ilustrando a trajetória retilínea do planeta para a esquerda ao longo de y = 0 e a trajetória curva da sonda, que parte do ponto A em y aproximado de 1,2, contorna a região de aproximação máxima e segue em direção ao ponto B em direção ao terceiro quadrante.

a) No ponto A, a velocidade \vec{v}_A da sonda em relação ao Sol tem apenas componente x, dada por 20\text{ km/s}, enquanto essa velocidade no ponto B é \vec{v}_B, com componente x igual a -7\text{ km/s} e componente y igual a -24\text{ km/s}. De quanto foi o aumento no módulo da velocidade da sonda entre esses dois pontos?

b) Nas mesmas condições do item anterior, determine as componentes x e y do vetor variação da quantidade de movimento da sonda entre os pontos A e B, bem como a tangente do ângulo entre esse vetor e o eixo x.

c) Nas mesmas condições dos itens anteriores, qual é a razão entre a variação da energia cinética do planeta e sua energia cinética inicial? Suponha que o módulo da velocidade inicial do planeta, em relação ao Sol, fosse de 5\text{ km/s}. Despreze a variação da energia potencial gravitacional associada à interação da sonda e do planeta com o Sol durante o processo.

Answer 1

Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2025

2º dia · Física

O “efeito estilingue” é o nome que se dá à modificação do módulo e da direção da velocidade de uma espaçonave quando ela passa nas imediações de um planeta. Ele foi utilizado, por exemplo, para encurtar em mais de 5 anos a duração da viagem da sonda New Horizons até Plutão, passando por Júpiter. A figura ao lado ilustra o efeito em uma situação na qual uma sonda de massa 500 kg, viajando inicialmente para a direita, move-se em direção a um planeta de massa 2{,}0 \times 10^{27}\text{ kg} que viaja para a esquerda. Como a massa da sonda é desprezível frente à do planeta, a trajetória deste último praticamente não se altera, embora parte de sua energia cinética seja transferida para a sonda. Nos pontos A e B indicados na figura, as distâncias entre a sonda e o planeta são tais que a energia potencial gravitacional associada à interação entre eles pode ser desprezada.

Gráfico de coordenada y por coordenada x (em unidades arbitrárias) ilustrando a trajetória retilínea do planeta para a esquerda ao longo de y = 0 e a trajetória curva da sonda, que parte do ponto A em y aproximado de 1,2, contorna a região de aproximação máxima e segue em direção ao ponto B em direção ao terceiro quadrante.

a) No ponto A, a velocidade \vec{v}_A da sonda em relação ao Sol tem apenas componente x, dada por 20\text{ km/s}, enquanto essa velocidade no ponto B é \vec{v}_B, com componente x igual a -7\text{ km/s} e componente y igual a -24\text{ km/s}. De quanto foi o aumento no módulo da velocidade da sonda entre esses dois pontos?

b) Nas mesmas condições do item anterior, determine as componentes x e y do vetor variação da quantidade de movimento da sonda entre os pontos A e B, bem como a tangente do ângulo entre esse vetor e o eixo x.

c) Nas mesmas condições dos itens anteriores, qual é a razão entre a variação da energia cinética do planeta e sua energia cinética inicial? Suponha que o módulo da velocidade inicial do planeta, em relação ao Sol, fosse de 5\text{ km/s}. Despreze a variação da energia potencial gravitacional associada à interação da sonda e do planeta com o Sol durante o processo.

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a)

O módulo da velocidade da sonda no ponto A é v_A = 20\text{ km/s} e o módulo correspondente no ponto B é v_B = \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = 25\text{ km/s}. Logo, a variação do módulo da velocidade da sonda foi de 5\text{ km/s}.

b)

A variação do vetor quantidade de movimento da sonda foi:

\Delta\vec{Q} = \vec{Q}_B - \vec{Q}_A = m(\vec{v}_B - \vec{v}_A)

A componente x dessa variação vale Q_x = 500(-7-20) = -13500\text{ kg.km/s}, enquanto a componente y vale Q_y = 500(-24-0) = -12000\text{ kg.km/s}.

A tangente do ângulo que o vetor \Delta\vec{Q} faz com o eixo x é \text{tg}\theta = Q_y/Q_x = 24/27 = 8/9.

c)

Como podemos desprezar todas as contribuições de energia potencial gravitacional, a conservação da energia mecânica impõe que as variações de energia cinética da sonda, \Delta E_s, e do planeta, \Delta E_p, relacionam-se por:

\Delta E_p = -\Delta E_s = \frac{1}{2}mv_A^2 - \frac{1}{2}mv_B^2

Por outro lado, a energia cinética inicial do planeta é E_p = \frac{1}{2}MV^2, de modo que a razão pedida é:

\Delta E_p/E_p = (m/M)(v_A^2 - v_B^2)/V^2

Substituindo os dados, temos:

\frac{\Delta E_p}{E_p} = \frac{500}{2{,}0 \times 10^{27}} \cdot \frac{20^2 - 25^2}{5^2} = -2{,}25 \times 10^{-24}

Observação: uma solução alternativa e também aceita (mas bem mais trabalhosa) envolve utilizar a conservação do vetor quantidade de movimento total. Tal solução leva a um resultado igual a:

\frac{\Delta E_p}{E_p} = -2{,}7 \times 10^{-24}

A pequena discrepância entre os resultados deve-se ao ajuste feito no valor fornecido da velocidade da sonda no ponto B, de modo a facilitar os cálculos.

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Resolução comentada

a) Como a energia potencial gravitacional entre a sonda e o planeta é desprezível em A e em B, basta comparar os módulos das velocidades nesses pontos.

Em A: v_A = 20\ \text{km/s}.

Em B: v_B=\sqrt{(-7)^2+(-24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25\ \text{km/s}.

O aumento no módulo da velocidade é 25-20 = 5\ \text{km/s}.

Aumento de 5\ \text{km/s} (de 20 para 25 km/s).

b) A variação da quantidade de movimento é \Delta\vec p = m(\vec v_B-\vec v_A), com m=500\ \text{kg}.

Componente x: \Delta p_x = 500\,(-7\,000-20\,000) = -1{,}35\times10^{7}\ \text{kg·m/s}.
Componente y: \Delta p_y = 500\,(-24\,000-0) = -1{,}2\times10^{7}\ \text{kg·m/s}.

A tangente do ângulo com o eixo x é a razão entre as componentes:

\tg\theta=\frac{\Delta p_y}{\Delta p_x}=\frac{-24}{-27}=\frac{8}{9}\approx 0{,}89

O vetor aponta para o terceiro quadrante, o que é coerente com o desvio da sonda para a esquerda e para baixo.

\Delta p_x=-1{,}35\times10^{7}\ \text{kg·m/s}, \Delta p_y=-1{,}2\times10^{7}\ \text{kg·m/s} e \tg\theta = 8/9\approx0{,}89.

c) Sem outras trocas de energia, o que a sonda ganha em energia cinética é exatamente o que o planeta perde.

Variação da energia cinética da sonda:

\Delta K_{sonda}=\frac{1}{2}\,500\,\big[(25\,000)^2-(20\,000)^2\big]=250\cdot 2{,}25\times10^{8}=5{,}625\times10^{10}\ \text{J}

Portanto \Delta K_{planeta}=-5{,}625\times10^{10}\ \text{J}.

Energia cinética inicial do planeta, com v=5\ \text{km/s}:

K_{planeta}=\frac{1}{2}\,(2{,}0\times10^{27})(5\,000)^2=2{,}5\times10^{34}\ \text{J}

A razão pedida é:

\frac{\Delta K_{planeta}}{K_{planeta}}=\frac{-5{,}625\times10^{10}}{2{,}5\times10^{34}}=-2{,}25\times10^{-24}

O sinal negativo indica que o planeta perde energia. A fração é desprezível, o que justifica dizer que a trajetória do planeta praticamente não se altera.

Razão \approx -2{,}25\times10^{-24} (o planeta perde essa fração da sua energia cinética).

Assuntos: conservação de energia, quantidade de movimento, energia cinética.

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