Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2025

2º dia · Física

Ondas sísmicas são ondas que se propagam em camadas de rochas no interior do manto da Terra. Essas ondas podem ser longitudinais (como o som, por exemplo) ou transversais (como as ondas que se propagam em uma corda). Um tipo de onda sísmica transversal é a chamada onda secundária (ou “onda S” ou “onda de cisalhamento”) e sua velocidade é dada por

v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}},

em que \mu é o módulo de cisalhamento e \rho é a densidade (ou massa específica), parâmetros da rocha em que a onda se propaga.

a) Através de uma análise dimensional, determine a unidade do módulo de cisalhamento \mu no Sistema Internacional de Unidades (SI).

Na interface entre dois tipos de rocha, pode haver refração das ondas sísmicas, e a mudança de direção é dada pela Lei de Snell, conforme mostra o exemplo da figura a seguir.

Esquema de refração entre duas camadas de rocha: o raio incidente na Camada 1 incide sobre a interface fazendo um ângulo θ₁ com a normal tracejada; o raio refratado propaga-se na Camada 2 fazendo um ângulo θ₂ com a normal.

\frac{\sen \theta_1}{v_{S1}} = \frac{\sen \theta_2}{v_{S2}}

Velocidades de ondas S típicas de alguns materiais comuns no manto terrestre são dadas na tabela a seguir.

Material Granito Basalto Arenito Calcário Argila
Velocidade da onda S (m/s) 2900 2600 1400 2700 700

Fontes: https://gpg.geosci.xyz/content/physical_properties/seismic_velocity_duplicate.html
https://pburnley.faculty.unlv.edu/GEOL452_652/seismology/notes/SeismicNotes10RVel.html

Considere uma onda S harmônica de frequência 0,3 Hz propagando-se através de uma interface entre duas camadas com composições diferentes.

b) Se a camada 1 for predominantemente composta por basalto e a camada 2 por granito, qual será a variação no comprimento de onda, \lambda_2 - \lambda_1?

c) Em outra interface, são medidos \sen \theta_1 = 0{,}26 e \sen \theta_2 = 0{,}52. Se a camada 1 for composta predominantemente de argila, qual será, dentre os materiais apresentados na tabela, aquele que melhor corresponderá à composição da camada 2? Justifique a sua resposta.

Note e adote:
Unidade de densidade (massa específica) no SI: \text{kg/m}^3.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Resolução comentada

a) Da relação v_S=\sqrt{\mu/\rho}, elevando ao quadrado, \mu = \rho\, v_S^2.\n\nNo SI, \rho tem unidade \text{kg/m}^3 e v_S tem unidade \text{m/s}. Então:\n\n

[\mu]=\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}=\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2}
\n\nEssa unidade equivale a \text{N/m}^2, isto é, o pascal (Pa), como esperado para uma grandeza de tensão por deformação.\n\n**[\mu]=\text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} (equivalente a \text{N/m}^2=\text{Pa})\n\nb)** Na refração a frequência não muda, pois ela é determinada pela fonte. Só a velocidade e o comprimento de onda mudam, e vale \lambda = v/f.\n\nBasalto (camada 1), v_1=2600\ \text{m/s}, e granito (camada 2), v_2=2900\ \text{m/s}, com f=0{,}3\ \text{Hz}:\n\n1. \lambda_1 = \dfrac{2600}{0{,}3}\approx 8667\ \text{m}\n2. \lambda_2 = \dfrac{2900}{0{,}3}\approx 9667\ \text{m}\n\nLogo:\n\n
\lambda_2-\lambda_1=\frac{v_2-v_1}{f}=\frac{300}{0{,}3}=1000\ \text{m}
\n\n**\lambda_2-\lambda_1 = 1000\ \text{m} (aumento de 1{,}0\ \text{km})\n\nc)** Pela lei de Snell:\n\n
\frac{\sen\theta_1}{v_{S1}}=\frac{\sen\theta_2}{v_{S2}}\ \Rightarrow\ v_{S2}=v_{S1}\,\frac{\sen\theta_2}{\sen\theta_1}
\n\nA camada 1 é de argila, com v_{S1}=700\ \text{m/s}. Substituindo:\n\n
v_{S2}=700\cdot\frac{0{,}52}{0{,}26}=700\cdot 2=1400\ \text{m/s}
\n\nNa tabela, a velocidade de 1400\ \text{m/s} corresponde ao arenito. O resultado é exato, então a composição que melhor corresponde à camada 2 é o arenito.\n\nArenito, pois v_{S2}=1400\ \text{m/s}.

Assuntos: análise dimensional, refração de ondas, lei de snell.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão F04 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2025