Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2025

Question

Uma membrana celular, situada entre o meio externo e o interior de uma célula, pode ser tratada de forma aproximada como um capacitor, cujas superfícies interna e externa apresentam excesso de ânions (cargas negativas) e de cátions (cargas positivas), respectivamente. Considere uma membrana celular cujas superfícies têm praticamente a mesma área A = 1{,}2\times 10^{-9}\text{ m}^2 e densidades superficiais de carga de mesmo módulo \sigma = 7\times 10^{-4}\text{ C/m}^2.

a) Tratando, de forma aproximada, a membrana celular como uma casca esférica de espessura desprezível frente ao raio, encontre o volume da “célula” que essa membrana delimita.

b) Determine, em coulombs, o valor do módulo da carga elétrica em cada superfície.

c) Supondo que as cargas das superfícies têm agora módulo igual a 7\times 10^{-14}\text{ C} e que a diferença de potencial entre as superfícies externa e interna vale V = 70\text{ mV}, encontre a capacitância da membrana.

Note e adote:
Uma esfera de raio R tem área superficial igual a 4\pi R^2 e volume 4\pi R^3/3. Considere \pi \simeq 3.

Answer 1

Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2025

2º dia · Física

Uma membrana celular, situada entre o meio externo e o interior de uma célula, pode ser tratada de forma aproximada como um capacitor, cujas superfícies interna e externa apresentam excesso de ânions (cargas negativas) e de cátions (cargas positivas), respectivamente. Considere uma membrana celular cujas superfícies têm praticamente a mesma área A = 1{,}2\times 10^{-9}\text{ m}^2 e densidades superficiais de carga de mesmo módulo \sigma = 7\times 10^{-4}\text{ C/m}^2.

a) Tratando, de forma aproximada, a membrana celular como uma casca esférica de espessura desprezível frente ao raio, encontre o volume da “célula” que essa membrana delimita.

b) Determine, em coulombs, o valor do módulo da carga elétrica em cada superfície.

c) Supondo que as cargas das superfícies têm agora módulo igual a 7\times 10^{-14}\text{ C} e que a diferença de potencial entre as superfícies externa e interna vale V = 70\text{ mV}, encontre a capacitância da membrana.

Note e adote:
Uma esfera de raio R tem área superficial igual a 4\pi R^2 e volume 4\pi R^3/3. Considere \pi \simeq 3.

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Resolução comentada

a) A membrana é uma casca esférica fina, então sua área é a área da superfície da esfera, A = 4\pi R^2. Com \pi \simeq 3:

1{,}2\times 10^{-9} = 12\,R^2 \Rightarrow R^2 = 1\times 10^{-10}\ \text{m}^2 \Rightarrow R = 1\times 10^{-5}\ \text{m}

O volume da célula é o da esfera de raio R:

V = \frac{4\pi R^3}{3} = \frac{4\cdot 3\cdot (10^{-5})^3}{3} = 4\times 10^{-15}\ \text{m}^3

V = 4\times 10^{-15}\ \text{m}^3

b) A densidade superficial de carga é \sigma = Q/A, então o módulo da carga em cada superfície é:

Q = \sigma A = 7\times 10^{-4}\cdot 1{,}2\times 10^{-9} = 8{,}4\times 10^{-13}\ \text{C}

Q = 8{,}4\times 10^{-13}\ \text{C}

c) A capacitância de um capacitor é a razão entre o módulo da carga em uma placa e a diferença de potencial entre as placas, C = Q/V. Com V = 70\ \text{mV} = 7\times 10^{-2}\ \text{V}:

C = \frac{7\times 10^{-14}}{7\times 10^{-2}} = 1\times 10^{-12}\ \text{F}

C = 1\times 10^{-12}\ \text{F} = 1\ \text{pF}

Assuntos: capacitores, densidade superficial de carga, geometria da esfera.

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