Resposta esperada pela FUVEST
a) Se \mathbf{n} \in \mathbf{N} , temos que se \mathbf{n} \le \mathbf{x} < \mathbf{n} + 1 então \lfloor\mathbf{x}\rfloor = \mathbf{n} . Daí \mathbf{x}\lfloor\mathbf{x}\rfloor = \mathbf{nx} e \mathbf{n}^2 \le \mathbf{x}\lfloor\mathbf{x}\rfloor < \mathbf{n}(\mathbf{n}+1) .
Para \mathbf{n} = 3 tem-se 9 \le \mathbf{x}\lfloor\mathbf{x}\rfloor < 12 . Portanto 3\mathbf{x} = 10 , o que implica que \mathbf{x} = 10/3 .
b) b.i) apresentar que a solução da equação requer que \lfloor\mathbf{x}\rfloor = 2 e \lfloor 2\mathbf{x}\rfloor = 5 e solucionar, apresentando os cálculos, as equações \lfloor\mathbf{x}\rfloor = 2 e \lfloor 2\mathbf{x}\rfloor = 5 para obter o intervalo [2{,}5\ ,\ 3) como conjunto solução.
b.ii) escrever \mathbf{x} = \lfloor\mathbf{x}\rfloor + \mathbf{r} onde 0 \le \mathbf{r} < 1 e considerar as situações
0 \le \mathbf{r} < 1/2 : nesse caso 3\lfloor\mathbf{x}\rfloor = 7 o que não pode acontecer pois \lfloor\mathbf{x}\rfloor é inteiro;1/2 \le \mathbf{r} < 1 : nesse caso 3\lfloor\mathbf{x}\rfloor + 1 = 7 e portanto \lfloor\mathbf{x}\rfloor = 2 . Logo \mathbf{x} = \lfloor\mathbf{x}\rfloor + \mathbf{r} \in [2{,}5\ ,\ 3)
c) Segue da equação dada que \lfloor\mathbf{x}^2\rfloor = 4\lfloor\mathbf{x}\rfloor - 3 . Se \mathbf{x} < 1 , temos que 4\lfloor\mathbf{x}\rfloor - 3 \le -3 e \lfloor\mathbf{x}^2\rfloor \ge 0 e, se \mathbf{x} \ge 4 , temos que \lfloor\mathbf{x}^2\rfloor - 4\lfloor\mathbf{x}\rfloor + 3 \ge \lfloor\mathbf{x}\rfloor^2 - 4\lfloor\mathbf{x}\rfloor + 3 > 0 . Logo, para que \lfloor\mathbf{x}^2\rfloor - 4\lfloor\mathbf{x}\rfloor + 3 = 0 restam apenas as opções:
\lfloor\mathbf{x}\rfloor = 1 : implica que \lfloor\mathbf{x}^2\rfloor = 1 e, portanto, 1 \le \mathbf{x} < \sqrt{2} ;\lfloor\mathbf{x}\rfloor = 2 : implica que \lfloor\mathbf{x}^2\rfloor = 5 e, portanto, \sqrt{5} \le \mathbf{x} < \sqrt{6} ;\lfloor\mathbf{x}\rfloor = 3 : implica que \lfloor\mathbf{x}^2\rfloor = 9 e, portanto, 3 \le \mathbf{x} < \sqrt{10} .
Portanto, as soluções reais da equação são exatamente os elementos do conjunto:
[1,\sqrt{2}) \cup [\sqrt{5},\sqrt{6}) \cup [3,\sqrt{10}).
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