Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2023
Um número complexo é da forma z = x + yi, onde x, y \in \mathbb{R} e i^2 = -1.
a) Determine o valor de b \in \mathbb{R} para que a parte real do número complexo \frac{2+bi}{1+i} seja igual a zero.
b) Determine a solução da equação |z| - z = 1 + 2i.
c) Determine o valor de a \in \mathbb{R}, a \neq 0, para que a equação
descreva uma circunferência no plano cartesiano.
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Resolução comentada
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a) Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
A parte real é \dfrac{2+b}{2}. Igualando a zero, b=-2.
b = −2
b) Escrevemos z=x+yi, então |z|=\sqrt{x^2+y^2}. A equação fica
Comparando as partes imaginárias, -y=2, logo y=-2.
Comparando as partes reais, \sqrt{x^2+4}=1+x. Isso exige 1+x\ge 0. Elevando ao quadrado:
Como \tfrac32\ge -1, a condição é satisfeita. Verificando: |z|=\sqrt{\tfrac94+4}=\tfrac52 e \tfrac52-\tfrac32+2i=1+2i. ✓
z=\dfrac32-2i
c) Com z=x+yi, temos z\bar z=x^2+y^2. Além disso, (1+i)z+\overline{(1+i)z}=2\,\text{Re}[(1+i)z], e (1+i)(x+yi)=(x-y)+(x+y)i, então essa soma vale 2(x-y).
A equação fica
Completando quadrados:
O centro é \left(-\frac1a,\frac1a\right) e r^2=\dfrac{2-a}{a^2}. Para ser uma circunferência (raio real positivo), precisamos de 2-a>0, isto é, a<2. Junto com a\neq0, vale a<2 e a\neq 0.
a<2 e a\neq0 (então r=\dfrac{\sqrt{2-a}}{|a|})
Assuntos: números complexos, módulo e conjugado, equação da circunferência.
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