Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2023
Segundo as normas da NBR 9077, uma escada deve ter todos os degraus com a mesma altura e a mesma largura. Além disso, indicando por L a largura de um degrau e por A a sua altura, ambas em centímetros, as seguintes desigualdades devem ser satisfeitas:
a) Se A = 16, quais são os possíveis valores de L?
b) A altura do primeiro andar de um sobrado é 2,52 metros, medido de um pavimento ao outro. O arquiteto projetou a escada para ter o maior comprimento (soma das larguras dos degraus) possível, respeitando as normas citadas. Dessa forma, quantos degraus terá a escada e qual é a altura e largura de cada um?
c) Quais são o maior e o menor valor possível para a tangente do ângulo de inclinação de uma escada construída de acordo com essa norma?
| Note e adote: |
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| A figura é meramente ilustrativa e não representa a escada do enunciado. |
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Com A = 16, a primeira desigualdade fica 63 \le 32 + L \le 64. Subtraindo 32 de todos os membros:
Logo, L pode ser qualquer valor entre 31 cm e 32 cm, inclusive.
Resposta: 31\ \text{cm} \le L \le 32\ \text{cm}.
b) A altura total é 252 cm. Com n degraus iguais, A = \dfrac{252}{n}. Como 16 \le A \le 18:
Como n é inteiro, n = 14 ou n = 15.
O comprimento total é n \cdot L. Para cada n, o maior L vem de 2A + L \le 64, isto é, L \le 64 - 2A.
- n = 14: A = 18, L \le 64 - 36 = 28. O comprimento é 14 \cdot 28 = 392 cm.
- n = 15: A = 16{,}8, L \le 64 - 33{,}6 = 30{,}4. O comprimento é 15 \cdot 30{,}4 = 456 cm.
Os dois casos respeitam 63 \le 2A + L: no primeiro, 36 + 28 = 64; no segundo, 33{,}6 + 30{,}4 = 64. O maior comprimento ocorre com 15 degraus.
Resposta: 15 degraus, cada um com altura de 16,8 cm e largura de 30,4 cm.
c) A tangente do ângulo de inclinação é \tg\theta = \dfrac{A}{L}.
Para A fixo, L varia de 63 - 2A a 64 - 2A. Então:
As duas frações crescem quando A cresce, pois o numerador aumenta e o denominador diminui.
- O menor valor ocorre com A = 16 e L máximo: L = 64 - 32 = 32, o que dá \tg\theta = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}.
- O maior valor ocorre com A = 18 e L mínimo: L = 63 - 36 = 27, o que dá \tg\theta = \dfrac{18}{27} = \dfrac{2}{3}.
Resposta: o menor valor é \dfrac{1}{2} e o maior é \dfrac{2}{3}.
Assuntos: inequações, função afim e otimização, tangente.
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