Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2023

2º dia · Matemática

Considere as circunferências C, C_1, C_2, C_3, \dots, C_n, \dots e a reta s satisfazendo as seguintes propriedades:

Plano cartesiano com eixos x e y onde se encontram uma circunferência C e uma sequência de circunferências C1, C2, C3, C4... tangentes entre si, com centros sobre o eixo x, exceto C cujo centro não é explicitado. C1 é centrada na origem (0,0) e passa por Q no semi-eixo negativo de x. As circunferências C2, C3, C4... diminuem de tamanho sucessivamente e convergem para o ponto P no eixo x, por onde C também passa. Uma reta s é tangente comum superior a todas as circunferências C_n. Um raio de C1 vai da origem ao ponto de tangência com a reta s, formando um ângulo de 60° com o eixo x. A região interior a C e exterior às circunferências C_n está sombreada.

  • A circunferência C_1 tem centro (0,0) e raio r = 4. Os centros das demais circunferências pertencem ao eixo Ox.
  • A circunferência C_2 é tangente a C_1 e a C_3, a circunferência C_3 é tangente a C_2 e a C_4, e assim por diante.
  • A reta s é tangente a cada circunferência C_n para n \ge 1.
  • O segmento que liga o centro de C_1 ao ponto em que s tangencia C_1 forma um ângulo de 60^\circ com o eixo Ox.
  • A circunferência C é tangente a C_1 no ponto Q = (-4,0) e passa pelo ponto P = (x_0, 0).

Com base nessas informações,

a) determine o raio da circunferência C.

b) dado n \ge 1, determine a razão entre os raios das circunferências consecutivas C_{n+1} e C_n.

c) determine a área da região sombreada na figura.

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a) A reta s é tangente a C_1 no ponto T, e OT é perpendicular a s. Seja P o ponto em que s corta o eixo Ox. No triângulo retângulo OTP, o ângulo em O vale 60^\circ e OT=4. Então

OP=\frac{OT}{\cos 60^\circ}=\frac{4}{1/2}=8,

logo P=(8,0) e x_0=8. A circunferência C é tangente a C_1 em Q=(-4,0), então seu centro está na reta OQ, que é o eixo Ox. Como Q e P pertencem a C e ambos estão no eixo Ox, o segmento QP é um diâmetro, com QP=8-(-4)=12. Portanto o raio de C é 6 (centro em (2,0)).

Raio de C: 6.

b) No triângulo OTP, o ângulo em P vale 30^\circ. Logo s forma 30^\circ com o eixo Ox e passa por P. Se o centro de C_n está a uma distância d_n de P e a circunferência é tangente a s, o raio é a distância do centro a s:

r_n=d_n\,\sen 30^\circ=\frac{d_n}{2}.

Para C_1: d_1=8 e r_1=4, o que confere.

As circunferências C_n e C_{n+1} são tangentes externamente, com centros no eixo e do mesmo lado de P. Assim, a distância entre os centros é d_n-d_{n+1}=r_n+r_{n+1}. Substituindo:

d_n-d_{n+1}=\frac{d_n}{2}+\frac{d_{n+1}}{2}\ \Rightarrow\ \frac{d_n}{2}=\frac{3d_{n+1}}{2}\ \Rightarrow\ d_{n+1}=\frac{d_n}{3}.

Como r_n=d_n/2, a razão entre os raios é a mesma:

\frac{r_{n+1}}{r_n}=\frac13.

Razão: \dfrac{1}{3}.

c) Todas as C_n estão dentro de C, pois seus centros e diâmetros ficam sobre o segmento QP. A área sombreada é a área de C menos a soma das áreas das C_n.

Os raios formam uma PG: r_n=4\left(\tfrac13\right)^{n-1}. Então as áreas \pi r_n^2 formam uma PG de primeiro termo 16\pi e razão \tfrac19:

\sum_{n\ge1}\pi r_n^2=\frac{16\pi}{1-\frac19}=\frac{16\pi\cdot 9}{8}=18\pi.

A área de C é \pi\cdot 6^2=36\pi. Logo

A=36\pi-18\pi=18\pi.

Área sombreada: 18\pi.

Assuntos: circunferências tangentes, progressão geométrica, geometria plana.

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