Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2023

2º dia · Física

Um circuito é formado por dois resistores em paralelo imersos no vácuo, separados por uma distância d ligados a uma bateria de força eletromotriz V. Cada resistor é formado por um fio muito longo, de mesmo comprimento e área de seção transversal, mas com resistividades elétricas \rho_1 e \rho_2 diferentes entre si, conforme ilustrado na figura.

Esquema de um circuito elétrico com dois condutores retilíneos paralelos de resistividades rho 1 e rho 2 separados por uma distância d, com um ponto C entre eles e uma fonte de tensão V na parte inferior percorrida por corrente I.

a) Sendo P_1 e P_2 as potências dissipadas nos resistores 1 e 2, respectivamente, calcule a razão P_1/P_2. Expresse sua resposta em termos de \rho_1 e \rho_2.

b) Considerando que a corrente total no circuito seja I, obtenha, em função de I, \rho_1 e \rho_2, o valor das correntes I_1 e I_2 que atravessam os resistores 1 e 2, respectivamente.

c) Obtenha a expressão para o módulo do campo magnético no ponto C, mostrado na figura, equidistante dos dois resistores, considerando I_1 = I_2/4. Expresse sua resposta somente em termos de d, \mu_0 (constante de permeabilidade magnética do vácuo) e da corrente total I.

Note e adote:
A resistência elétrica é diretamente proporcional ao comprimento, à resistividade e inversamente proporcional à área da seção transversal. O módulo do campo magnético produzido por um fio muito longo transportando uma corrente I a uma distância r é dado por \mu_0 I/2\pi r, onde \mu_0 é a constante de permeabilidade do vácuo.
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a) Os dois resistores estão em paralelo, então ficam sob a mesma tensão V. A potência dissipada em cada um é P=V^2/R, com R=\rho L/A. Como L e A são iguais nos dois fios, R_1\propto\rho_1 e R_2\propto\rho_2. Então:

\frac{P_1}{P_2}=\frac{V^2/R_1}{V^2/R_2}=\frac{R_2}{R_1}=\frac{\rho_2}{\rho_1}

P_1/P_2=\rho_2/\rho_1

b) A tensão é a mesma nos dois resistores, logo I_1R_1=I_2R_2. Isso dá

\frac{I_1}{I_2}=\frac{R_2}{R_1}=\frac{\rho_2}{\rho_1}

A corrente total é I=I_1+I_2. Substituindo I_2=I_1\rho_1/\rho_2:

I=I_1\,\frac{\rho_2+\rho_1}{\rho_2}\ \Rightarrow\ I_1=\frac{\rho_2}{\rho_1+\rho_2}\,I,\qquad I_2=\frac{\rho_1}{\rho_1+\rho_2}\,I

I_1=\dfrac{\rho_2 I}{\rho_1+\rho_2} e I_2=\dfrac{\rho_1 I}{\rho_1+\rho_2}

c) Com I_1=I_2/4 e I_1+I_2=I, temos I_1=I/5 e I_2=4I/5.

Os fios estão ligados em paralelo ao mesmo par de nós. Por isso as correntes têm o mesmo sentido nos dois fios. No ponto C, entre os fios, os campos magnéticos têm sentidos opostos e se subtraem.

O ponto C está a r=d/2 de cada fio. Cada fio produz:

B_k=\frac{\mu_0 I_k}{2\pi (d/2)}=\frac{\mu_0 I_k}{\pi d}

O campo resultante é:

B=\frac{\mu_0}{\pi d}(I_2-I_1)=\frac{\mu_0}{\pi d}\left(\frac{4I}{5}-\frac{I}{5}\right)=\frac{3\mu_0 I}{5\pi d}

B=\dfrac{3\mu_0 I}{5\pi d}

Assuntos: circuitos elétricos em paralelo, resistividade e potência, campo magnético de fios retilíneos.

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