Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2023

Question

Considere um mergulhador em um lago de águas calmas.

a) Esse mergulhador possui massa de 75 kg e volume corporal de 70 L. Para um mergulho, ele acopla a si um cilindro de ar de 15 kg e volume de 10 L. Estando completamente imersos na água (mergulhador e cilindro), o mergulhador para de nadar. Ele afundará ou subirá até a superfície? Justifique sua resposta.

b) Durante um mergulho, o mergulhador consulta seu manômetro de pulso e verifica que a pressão absoluta local é de 2,0 atm. A que profundidade o mergulhador está?

c) Finalmente, considere que o mergulhador está no fundo do lago, onde a temperatura da água é de 7^\circ\text{C} e a pressão é de 2,8 atm. Ele produz uma bolha de ar volume V_1, que sobe em direção à superfície. Quando a bolha houver subido até a iminência de atingir a superfície, onde a temperatura da água é 27^\circ\text{C}, seu volume será V_0. Determine a razão V_0/V_1.

Note e adote:
A densidade da água é de 1{,}0\text{ kg/L}. Adote como aceleração da gravidade o valor 10\text{ m/s}^2 e como densidade da água o valor 1{,}0 \times 10^3\text{ kg/m}^3 e utilize 1{,}0\text{ atm} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}. Trate o ar na bolha como um gás ideal e suponha que não escape ar da bolha durante a subida.

Answer 1

Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2023

2º dia · Física

Considere um mergulhador em um lago de águas calmas.

a) Esse mergulhador possui massa de 75 kg e volume corporal de 70 L. Para um mergulho, ele acopla a si um cilindro de ar de 15 kg e volume de 10 L. Estando completamente imersos na água (mergulhador e cilindro), o mergulhador para de nadar. Ele afundará ou subirá até a superfície? Justifique sua resposta.

b) Durante um mergulho, o mergulhador consulta seu manômetro de pulso e verifica que a pressão absoluta local é de 2,0 atm. A que profundidade o mergulhador está?

c) Finalmente, considere que o mergulhador está no fundo do lago, onde a temperatura da água é de 7^\circ\text{C} e a pressão é de 2,8 atm. Ele produz uma bolha de ar volume V_1, que sobe em direção à superfície. Quando a bolha houver subido até a iminência de atingir a superfície, onde a temperatura da água é 27^\circ\text{C}, seu volume será V_0. Determine a razão V_0/V_1.

Note e adote:
A densidade da água é de 1{,}0\text{ kg/L}. Adote como aceleração da gravidade o valor 10\text{ m/s}^2 e como densidade da água o valor 1{,}0 \times 10^3\text{ kg/m}^3 e utilize 1{,}0\text{ atm} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}. Trate o ar na bolha como um gás ideal e suponha que não escape ar da bolha durante a subida.

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a) Calcula-se a densidade total do conjunto mergulhador+cilindro, que resulta em 9/8 kg/L = 1,125 kg/L, de onde se conclui que, sendo essa densidade maior do que a da água (1,0 kg/L), o conjunto afunda

b) Sendo p_0 a pressão na superfície da água, a pressão varia com a profundidade segundo a Lei de Stevin p = p_0 + \rho gh, de modo que h = \big(p - p_0\big)/\rho g = 1{,}0 \times 10^5/\big(1{,}0 \times 10^3 \times 10\big) = 10\text{ m} .

c) Não havendo perda de ar na bolha durante a subida, temos, pela Lei dos Gases Ideais, p_0 V_0 / T_0 = p_1 V_1 / T_1. Logo, V_0 / V_1 = \big(p_1 / p_0\big) \times \big(T_0 / T_1\big). Lembrando que as temperaturas nessas expressões devem ser absolutas (em Kelvin), temos T_0 = 273 + 27 = 300K e T_1 = 273 + 7 = 280K, portanto V_0 / V_1 = \big(2{,}8 / 1{,}0\big) \times (300/280) = 3{,}0.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Compare o peso do conjunto com o empuxo máximo, que ocorre com o conjunto totalmente imerso.

Massa total: 75 + 15 = 90\ \text{kg}, então P = 900\ \text{N}.

Volume total: 70 + 10 = 80\ \text{L}. Como a água tem densidade de 1{,}0\ \text{kg/L}, a massa de água deslocada é 80\ \text{kg}.

E = \rho_{\text{água}} V g = 80 \cdot 10 = 800\ \text{N}

Como P = 900\ \text{N} > E = 800\ \text{N}, a força resultante aponta para baixo (100 N). Outra forma de ver: a densidade média do conjunto é 90/80 = 1{,}125\ \text{kg/L}, maior que a da água.

O mergulhador afundará, pois o peso (900 N) é maior que o empuxo (800 N).

b) A pressão absoluta é a soma da pressão atmosférica com a pressão da coluna de água (Stevin):

p = p_{\text{atm}} + \rho g h

Com p = 2{,}0\ \text{atm} = 2{,}0\times 10^5\ \text{Pa} e p_{\text{atm}} = 1{,}0\times 10^5\ \text{Pa}:

1{,}0\times 10^5 = 1{,}0\times 10^3 \cdot 10 \cdot h \Rightarrow h = 10\ \text{m}

Profundidade de 10 m.

c) Use a equação dos gases ideais para uma massa fixa de gás, pois nenhum ar escapa:

\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_0 V_0}{T_0}

Estado inicial (fundo): p_1 = 2{,}8\ \text{atm} e T_1 = 7 + 273 = 280\ \text{K}.

Estado final (superfície): p_0 = 1{,}0\ \text{atm} e T_0 = 27 + 273 = 300\ \text{K}.

\frac{V_0}{V_1} = \frac{p_1}{p_0}\cdot\frac{T_0}{T_1} = \frac{2{,}8}{1{,}0}\cdot\frac{300}{280} = 3{,}0

V_0/V_1 = 3{,}0

Assuntos: empuxo, hidrostática (lei de Stevin), gases ideais.

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