Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2023

Question

O telescópio espacial James Webb lançado em 2021 é, em muitos sentidos, um aprimoramento do antigo telescópico Hubble. Uma das diferenças mais notáveis está nas dimensões e nas propriedades ópticas dos espelhos principais destes dois telescópios. Por exemplo: enquanto o espelho principal do Hubble tem uma distância focal de aproximadamente 58 m, a distância focal do espelho principal do James Webb é de aproximadamente o dobro (131 metros). Tratando de maneira aproximada o funcionamento destes telescópios, consideraremos aqui a reflexão por somente um espelho esférico.

Suponha um sistema binário de estrelas separadas por uma distância H, e localizado a uma distância D do espelho do telescópio que as observa, conforme mostra a figura. A distância entre o foco do espelho (ponto F) e o vértice do espelho (ponto V) é a chamada distância focal do espelho (d_f).

Esquema óptico mostrando um espelho esférico côncavo com eixo principal horizontal passando pelo foco F e pelo vértice V, separados pela distância focal d_f. À esquerda, a uma distância horizontal D do vértice, encontram-se a estrela B (sobre o eixo principal) e a estrela A (acima do eixo principal), separadas por uma distância vertical H.

a) Dois raios luminosos (“raio 1” e “ raio 2”) partindo da estrela A atingem o espelho. O “raio 1” é paralelo ao eixo do espelho, enquanto o “raio 2” passa pelo ponto F. Na figura da folha de respostas, trace os raios refletidos pelo espelho.

b) Considere que o sistema está sendo observado pelo telescópio Hubble, para o qual d_f = d. Calcule a razão A = \frac{H_I}{H} onde H_I é a distância entre as imagens das estrelas formadas pelo espelho. Essa razão é também chamada de “aumento” do espelho, embora esta razão possa ser menor do que 1. Expresse sua resposta em termos de D e d.

c) Considere agora que o sistema esteja sendo observado pelo telescópio James Webb, para o qual d_f = 2d. Calcule a razão entre os aumentos dos dois espelhos. Expresse sua resposta em termos de D e d.

Note e adote:
As estrelas podem ser consideradas fontes luminosas pontuais.
Para espelhos esféricos, o inverso da distância focal é igual à soma do inverso da distância do objeto com o inverso da distância em que a imagem se forma (todas em relação ao centro do espelho).

Answer 1

Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2023

2º dia · Física

O telescópio espacial James Webb lançado em 2021 é, em muitos sentidos, um aprimoramento do antigo telescópico Hubble. Uma das diferenças mais notáveis está nas dimensões e nas propriedades ópticas dos espelhos principais destes dois telescópios. Por exemplo: enquanto o espelho principal do Hubble tem uma distância focal de aproximadamente 58 m, a distância focal do espelho principal do James Webb é de aproximadamente o dobro (131 metros). Tratando de maneira aproximada o funcionamento destes telescópios, consideraremos aqui a reflexão por somente um espelho esférico.

Suponha um sistema binário de estrelas separadas por uma distância H, e localizado a uma distância D do espelho do telescópio que as observa, conforme mostra a figura. A distância entre o foco do espelho (ponto F) e o vértice do espelho (ponto V) é a chamada distância focal do espelho (d_f).

Esquema óptico mostrando um espelho esférico côncavo com eixo principal horizontal passando pelo foco F e pelo vértice V, separados pela distância focal d_f. À esquerda, a uma distância horizontal D do vértice, encontram-se a estrela B (sobre o eixo principal) e a estrela A (acima do eixo principal), separadas por uma distância vertical H.

a) Dois raios luminosos (“raio 1” e “ raio 2”) partindo da estrela A atingem o espelho. O “raio 1” é paralelo ao eixo do espelho, enquanto o “raio 2” passa pelo ponto F. Na figura da folha de respostas, trace os raios refletidos pelo espelho.

b) Considere que o sistema está sendo observado pelo telescópio Hubble, para o qual d_f = d. Calcule a razão A = \frac{H_I}{H} onde H_I é a distância entre as imagens das estrelas formadas pelo espelho. Essa razão é também chamada de “aumento” do espelho, embora esta razão possa ser menor do que 1. Expresse sua resposta em termos de D e d.

c) Considere agora que o sistema esteja sendo observado pelo telescópio James Webb, para o qual d_f = 2d. Calcule a razão entre os aumentos dos dois espelhos. Expresse sua resposta em termos de D e d.

Note e adote:
As estrelas podem ser consideradas fontes luminosas pontuais.
Para espelhos esféricos, o inverso da distância focal é igual à soma do inverso da distância do objeto com o inverso da distância em que a imagem se forma (todas em relação ao centro do espelho).

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a) [Figura: Esquema em malha quadriculada representando as estrelas A e B, o eixo óptico, o foco F e o espelho esférico côncavo. O raio 1 parte da estrela A paralelamente ao eixo óptico, incide no espelho e reflete passando pelo foco F. O raio 2 parte da estrela A, passa pelo foco F, incide no espelho e reflete paralelamente ao eixo óptico, interceptando o raio 1 refletido.]

b) A altura da imagem estará no ponto de cruzamento dos dois raios refletidos. Por relações trigonométricas ou pelas “lei dos espelhos esféricos”(equação de Gauss), temos que a distância D_I em que a imagem se forma é dada por

\frac{1}{d} = \frac{1}{D_I} + \frac{1}{D} \Rightarrow \frac{D_I}{D} = \frac{d}{D-d}.

Por semelhança de triângulos,

A = \frac{H_I}{H} = \frac{D_I}{D} = \frac{d}{D-d}.

c) Se o segundo espelho tiver distância focal 2d, o aumento será:

A_2 = \frac{2d}{D-2d}.

de modo que a razão entre os aumentos será:

\frac{A_2}{A} = 2\frac{(D-d)}{D-2d}.

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Resolução comentada

a) Use as duas regras dos raios notáveis do espelho côncavo:

O raio 1, paralelo ao eixo, reflete passando pelo foco F.
O raio 2, que passa por F, reflete paralelo ao eixo.

Os dois raios refletidos se cruzam num ponto situado abaixo do eixo principal, entre F e o centro de curvatura. Esse ponto é a imagem A' da estrela A, pois D \gg d_f e o objeto está além do centro de curvatura. A imagem é real, invertida e menor que o objeto. A estrela B está sobre o eixo, então sua imagem B' fica sobre o eixo, na vertical de A'. Na folha, desenhe o raio 1 saindo de A, horizontal até o espelho, e refletido em direção a F (prolongado até A'). Desenhe o raio 2 saindo de A, passando por F até o espelho, e refletido horizontalmente até A'.

Resposta: os raios refletidos se encontram em A', abaixo do eixo, entre F e o centro de curvatura (imagem real e invertida).

b) Pela equação dos pontos conjugados, com d_f = d e objeto a uma distância D:

\frac{1}{d}=\frac{1}{D}+\frac{1}{p'}\;\Rightarrow\;\frac{1}{p'}=\frac{D-d}{Dd}\;\Rightarrow\;p'=\frac{Dd}{D-d}

O aumento linear é a razão entre as distâncias da imagem e do objeto ao espelho, em módulo:

A=\frac{H_I}{H}=\frac{p'}{D}=\frac{d}{D-d}

Como D\gg d, temos A<1: a imagem é menor que o objeto.

Resposta: A=\dfrac{d}{D-d}

c) Para o James Webb, basta trocar d por 2d:

A_W=\frac{2d}{D-2d}

A razão entre os aumentos é:

\frac{A_W}{A_H}=\frac{2d}{D-2d}\cdot\frac{D-d}{d}=\frac{2(D-d)}{D-2d}

Como D\gg d, essa razão é aproximadamente 2. A imagem no Webb é cerca de duas vezes maior.

Resposta: \dfrac{A_W}{A_H}=\dfrac{2(D-d)}{D-2d}

Assuntos: espelhos esféricos, equação de gauss, aumento linear.

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