Questão F01 da 2ª fase da FUVEST 2023

Question

Usinas hidrelétricas convertem energia mecânica em energia elétrica, que depois é transportada por linhas de transmissão até residências, indústrias etc.

a) A potência aproximada da usina hidrelétrica de Itaipu, a maior do Brasil, é de 15\ \text{GW}. A potência dissipada por um aparelho de TV em modo de espera (stand by) é de cerca de 6\ \text{W}. Supondo que, em média, cada um dos cerca de 75 milhões de domicílios brasileiros tenha 1 aparelho de TV em modo de espera, que percentagem da potência de Itaipu é consumida apenas para manter TVs brasileiras nesse modo?

b) Uma versão simples de usina hidrelétrica utiliza a queda livre da água para girar uma turbina. Supondo que a água inicie, praticamente do repouso, uma queda de 20\ \text{m} até a turbina, com que velocidade a água atinge a turbina?

c) O impulso da água faz girar a turbina, que por sua vez aciona um gerador. A presença de um campo magnético no gerador em movimento leva ao surgimento de uma força eletromotriz que varia no tempo. Após o transporte da eletricidade até uma residência, o gráfico da força eletromotriz tem o aspecto mostrado na figura ao lado.

Gráfico de força eletromotriz (fem em V) em função do tempo t (em segundos). A curva é senoidal com amplitude variando entre aproximadamente -180 V e 180 V, e o eixo do tempo varia de 0,00 s a 0,10 s.

Se conectarmos à tomada da residência um ferro de passar com um resistor ôhmico de 40\ \Omega, qual será a máxima corrente elétrica que percorrerá o resistor do ferro durante sua operação?

Note e adote:
Despreze a resistência do ar e adote o valor de 10\ \text{m/s}^2 para a aceleração da gravidade.

Answer 1

Questão F01 da 2ª fase da FUVEST 2023

2º dia · Física

Usinas hidrelétricas convertem energia mecânica em energia elétrica, que depois é transportada por linhas de transmissão até residências, indústrias etc.

a) A potência aproximada da usina hidrelétrica de Itaipu, a maior do Brasil, é de 15\ \text{GW}. A potência dissipada por um aparelho de TV em modo de espera (stand by) é de cerca de 6\ \text{W}. Supondo que, em média, cada um dos cerca de 75 milhões de domicílios brasileiros tenha 1 aparelho de TV em modo de espera, que percentagem da potência de Itaipu é consumida apenas para manter TVs brasileiras nesse modo?

b) Uma versão simples de usina hidrelétrica utiliza a queda livre da água para girar uma turbina. Supondo que a água inicie, praticamente do repouso, uma queda de 20\ \text{m} até a turbina, com que velocidade a água atinge a turbina?

c) O impulso da água faz girar a turbina, que por sua vez aciona um gerador. A presença de um campo magnético no gerador em movimento leva ao surgimento de uma força eletromotriz que varia no tempo. Após o transporte da eletricidade até uma residência, o gráfico da força eletromotriz tem o aspecto mostrado na figura ao lado.

Gráfico de força eletromotriz (fem em V) em função do tempo t (em segundos). A curva é senoidal com amplitude variando entre aproximadamente -180 V e 180 V, e o eixo do tempo varia de 0,00 s a 0,10 s.

Se conectarmos à tomada da residência um ferro de passar com um resistor ôhmico de 40\ \Omega, qual será a máxima corrente elétrica que percorrerá o resistor do ferro durante sua operação?

Note e adote:
Despreze a resistência do ar e adote o valor de 10\ \text{m/s}^2 para a aceleração da gravidade.

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a)
A potência total consumida por todas as TVs é P = \left( 75 \times 10^6 \right) \times 6\text{ W} = 450 \times 10^6\text{ W}.

Isso corresponde a uma fração f = (450 \times 10^6)/(15 \times 10^9) = 3 \times 10^{-2}, ou 3\% da potência de Itaipu.

b)
Por conservação da energia, temos que, para uma dada massa de água m, a energia cinética final é igual à energia potencial inicial \frac{mv^2}{2} = mgh. Logo, v = \sqrt{2gh} = \sqrt{20 \times 20} = 20\text{ m/s}.

c)
Para uma resistência ôhmica, vale a Lei de Ohm V = Ri, ou seja, i = V/R. O máximo valor da corrente alternada corresponde ao máximo valor da fem, que, segundo o gráfico, é igual a 180\text{ V}. Logo i_{\text{max}} = 180/40 = 4{,}5\text{ A}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Cada TV em stand by dissipa 6\ \text{W} e são 75\times10^{6} domicílios, cada um com 1 TV. A potência total é:

P = 75\times10^{6}\times 6\ \text{W} = 4{,}5\times10^{8}\ \text{W} = 0{,}45\ \text{GW}

A fração da potência de Itaipu (15\ \text{GW}) é:

\frac{0{,}45}{15} = 0{,}03 = 3\%

Resposta: cerca de 3% da potência de Itaipu.

b) Sem resistência do ar, a energia mecânica se conserva. A energia potencial gravitacional perdida na queda vira energia cinética:

mgh = \frac{mv^2}{2} \Rightarrow v = \sqrt{2gh}

v = \sqrt{2\times 10\times 20} = \sqrt{400} = 20\ \text{m/s}

Resposta: 20\ \text{m/s} (cerca de 72\ \text{km/h}).

c) Pelo gráfico, a fem oscila entre -180\ \text{V} e +180\ \text{V}, ou seja, o valor máximo (amplitude) é aproximadamente 180\ \text{V}.

Para um resistor ôhmico vale a 1ª lei de Ohm a cada instante, i = \varepsilon/R. A corrente é máxima quando a tensão é máxima:

i_{\text{máx}} = \frac{\varepsilon_{\text{máx}}}{R} = \frac{180}{40} = 4{,}5\ \text{A}

Resposta: 4{,}5\ \text{A}.

Assuntos: potência elétrica, conservação da energia mecânica, lei de Ohm e corrente alternada.

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