Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2022
Considere, no plano cartesiano, a circunferência com centro no ponto (0, 3) e com raio 2 e, para cada a \in \mathbb{R}, a \neq 0, a parábola cuja equação é y = ax^2 + 1.
a) Para a = -1, encontre o ponto comum entre a circunferência e a parábola.
b) Para a = 1, apresente 3 pontos em comum entre a circunferência e a parábola.
c) Encontre todos os valores de a para os quais a circunferência e a parábola possuam exatamente 3 pontos em comum.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
A circunferência tem equação x^2+(y-3)^2=4. Na parábola, x^2=\frac{y-1}{a}.
a) Para a=-1, temos x^2=1-y. Substituindo na circunferência:
Se y=6, então x^2=-5, o que é impossível. Se y=1, então x^2=0 e x=0.
O único ponto comum é (0,1).
b) Para a=1, temos x^2=y-1. Substituindo na circunferência:
- Se y=1, então x=0.
- Se y=4, então x^2=3 e x=\pm\sqrt3.
Três pontos em comum: (0,1), (\sqrt3,4) e (-\sqrt3,4).
c) Para a qualquer, usamos ax^2=y-1, ou seja, x^2=\frac{y-1}{a}. Na circunferência:
A equação tem duas raízes em y:
- y=1, que dá x=0. O ponto (0,1) é sempre comum, para qualquer a.
- y=5-\frac1a, que dá x^2=\frac{y-1}{a}=\frac{4a-1}{a^2}.
Para haver exatamente 3 pontos, a segunda raiz deve dar dois pontos simétricos distintos de (0,1). Isso exige x^2>0, ou seja, 4a-1>0, e portanto a>\frac14.
As outras possibilidades não servem:
- Se a=\frac14, então y=1 e x=0, e só há 1 ponto.
- Se a<\frac14, então x^2<0 e também só há 1 ponto.
Logo, a>\frac14. O caso a=1 do item (b) confirma o resultado.
a>\dfrac14
Assuntos: circunferência, parábola, interseção de curvas.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
