Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2022

Question

Uma empresa distribuidora de alimentos tem latas de ervilha (E) e latas de milho (M), em dois pesos, 1 kg e 2kg, totalizando 4 (quatro) tipos de latas: E1 e E2 (ervilha, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente) e M1 e M2 (milho, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente). Essas latas são agrupadas em pacotes para envio aos comerciantes. Dois pacotes de latas são considerados iguais se contiverem a mesma quantidade de latas de cada tipo, independentemente da maneira como são organizadas no pacote.

a) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1 e E2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 tipo dessas latas.

b) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1, E2 e M1? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 ou 2 tipos dessas latas.

c) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 20kg (vinte quilos) podem ser montados usando-se latas dos tipos E1, E2, M1 e M2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1, 2 ou 3 tipos dessas latas.

Answer 1

Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2022

2º dia · Matemática

Uma empresa distribuidora de alimentos tem latas de ervilha (E) e latas de milho (M), em dois pesos, 1 kg e 2kg, totalizando 4 (quatro) tipos de latas: E1 e E2 (ervilha, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente) e M1 e M2 (milho, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente). Essas latas são agrupadas em pacotes para envio aos comerciantes. Dois pacotes de latas são considerados iguais se contiverem a mesma quantidade de latas de cada tipo, independentemente da maneira como são organizadas no pacote.

a) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1 e E2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 tipo dessas latas.

b) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1, E2 e M1? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 ou 2 tipos dessas latas.

c) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 20kg (vinte quilos) podem ser montados usando-se latas dos tipos E1, E2, M1 e M2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1, 2 ou 3 tipos dessas latas.

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Resolução comentada

a) Sejam x o número de latas E1 (1 kg) e y o de latas E2 (2 kg). O pacote fica determinado pelo par (x,y) e deve satisfazer

x+2y=200,\quad x,y\ge 0 \text{ inteiros}.

Para cada y de 0 a 100 existe um único x=200-2y\ge 0. Os casos y=0 (só E1) e y=100 (só E2) já estão incluídos. Então são 101 pacotes.

101

b) Agora entra z, o número de latas M1 (1 kg):

x+2y+z=200,\quad x,y,z\ge 0.

Fixado y (de 0 a 100), temos x+z=200-2y. Essa equação tem 201-2y soluções, pois x vai de 0 a 200-2y e z fica determinado. Somando:

\displaystyle\sum_{y=0}^{100}(201-2y)=101\cdot 201-2\cdot\frac{100\cdot101}{2}
=20\,301-10\,100=10\,201.

Pacotes com 1 ou 2 tipos de latas já estão contados, porque aceitamos valores nulos.

10 201

c) Sejam a (E1), b (M1), c (E2) e d (M2). Então

a+b+2(c+d)=20.

Chame s=c+d, com s de 0 a 10. Para cada s:

o par (c,d) tem s+1 possibilidades;
a+b=20-2s tem 21-2s soluções.

Logo o total é

\sum_{s=0}^{10}(s+1)(21-2s)=\sum_{s=0}^{10}(-2s^2+19s+21).

Usando \sum s=55 e \sum s^2=385:

-2\cdot385+19\cdot55+21\cdot11=-770+1045+231=506.

O resultado também pode ser conferido somando os produtos: 21+38+51+60+65+66+63+56+45+30+11=506.

506

Assuntos: contagem, equações diofantinas lineares, somas de progressões.

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