Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2022
Considere o conjunto C de pontos do plano cartesiano da forma (m, n), com m e n pertencentes a \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.
a) Apresente todos os pontos (m, n) de C para os quais o produto m \cdot n é maior do que 60.
b) Sorteando-se um ponto (m, n) de C, com iguais probabilidades para todos os pontos, qual é a probabilidade de que a fração \frac{m}{n} seja redutível?
c) Sorteando-se, com iguais probabilidades, dois pontos distintos de C, qual é a probabilidade de que a distância entre eles seja igual a \sqrt{13}?
| Note e Adote: |
|---|
| Uma fração \frac{m}{n} é redutível quando m e n possuem um divisor natural em comum, além do 1. |
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Resolução comentada
a) Os valores de m e n vão de 3 a 9. Testamos cada m e vemos quais n dão m\cdot n>60:
- m=3, 4, 5 ou 6: precisaríamos de n>20, n>15, n>12 ou n>10, o que é impossível.
- m=7: precisamos de n>8{,}57, logo n=9 (e 7\cdot 9=63).
- m=8: precisamos de n>7{,}5, logo n=8 ou n=9 (64 e 72).
- m=9: precisamos de n>6{,}67, logo n=7, 8 ou 9 (63, 72 e 81).
Os pontos são (7,9), (8,8), (8,9), (9,7), (9,8) e (9,9).
Resposta: (7,9),(8,8),(8,9),(9,7),(9,8),(9,9).
b) O conjunto C tem 7\cdot 7=49 pontos. A fração é redutível quando m e n têm um divisor comum maior que 1, ou seja, quando compartilham algum fator primo. Contamos por fator primo.
- Fator 2: m e n pertencem a \{4,6,8\}, o que dá 3\cdot 3=9 pontos.
- Fator 3: m e n pertencem a \{3,6,9\}, o que dá 9 pontos.
- Os dois fatores ao mesmo tempo: só o ponto (6,6), que foi contado duas vezes. Então fatores 2 ou 3 dão 9+9-1=17.
- Fator 5: só (5,5), 1 ponto.
- Fator 7: só (7,7), 1 ponto.
Total de pontos favoráveis: 17+1+1=19.
Resposta: \dfrac{19}{49}.
c) Os pontos distintos são sorteados sem ordem, então o espaço amostral tem \binom{49}{2}=1176 pares.
A distância é \sqrt{13} quando (\Delta x)^2+(\Delta y)^2=13. Como 13=4+9 é a única soma de dois quadrados que dá 13, as diferenças em módulo são 2 e 3, em alguma ordem.
Contamos os pares não ordenados fixando \Delta x>0. Os vetores possíveis são (2,3), (2,-3), (3,2) e (3,-2).
Para o vetor (2,3), o ponto inicial pode ter x de 3 a 7 (5 valores) e y de 3 a 6 (4 valores), ou seja, 5\cdot 4=20 pares. O mesmo vale para os outros três vetores. Total: 4\cdot 20=80 pares.
Resposta: \dfrac{10}{147}.
Assuntos: probabilidade, análise combinatória, distância entre pontos.
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