Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2022

Question

Uma função f está definida no intervalo [-2, 9] da seguinte forma: para x \in [-2, 2], f leva x em x^2 e, no restante do domínio, o seu gráfico é formado por dois segmentos de reta conforme mostra a figura.

Gráfico da função f no plano cartesiano, definida de x = -2 a x = 9. De x = -2 a x = 2, o gráfico é um arco de parábola com vértice na origem (0, 0) e pontos extremos em (-2, 4) e (2, 4). De x = 2 a x = 5, o gráfico é um segmento de reta horizontal de (2, 4) até (5, 4). De x = 5 a x = 9, o gráfico é um segmento de reta ascendente de (5, 4) até (9, 6).

a) Apresente todos os intervalos do domínio da função f nos quais ela é crescente.

b) Determine os valores de f nos pontos x = -\frac{3}{2}, x = \frac{7}{2} e x = 8.

c) Para cada valor de x \in\ ]0, 9[, considere o retângulo R_x com vértices nos pontos A = (x, 0), B = (9, 0), C = (9, f(x)) e D = (x, f(x)). Escreva a expressão da área de R_x, em função de x, para x no intervalo ]0, 9[.

Answer 1

Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2022

2º dia · Matemática

Uma função f está definida no intervalo [-2, 9] da seguinte forma: para x \in [-2, 2], f leva x em x^2 e, no restante do domínio, o seu gráfico é formado por dois segmentos de reta conforme mostra a figura.

Gráfico da função f no plano cartesiano, definida de x = -2 a x = 9. De x = -2 a x = 2, o gráfico é um arco de parábola com vértice na origem (0, 0) e pontos extremos em (-2, 4) e (2, 4). De x = 2 a x = 5, o gráfico é um segmento de reta horizontal de (2, 4) até (5, 4). De x = 5 a x = 9, o gráfico é um segmento de reta ascendente de (5, 4) até (9, 6).

a) Apresente todos os intervalos do domínio da função f nos quais ela é crescente.

b) Determine os valores de f nos pontos x = -\frac{3}{2}, x = \frac{7}{2} e x = 8.

c) Para cada valor de x \in\ ]0, 9[, considere o retângulo R_x com vértices nos pontos A = (x, 0), B = (9, 0), C = (9, f(x)) e D = (x, f(x)). Escreva a expressão da área de R_x, em função de x, para x no intervalo ]0, 9[.

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Resolução comentada

a) Uma função é crescente onde, ao aumentar x, o valor de f aumenta. Olhando o gráfico:

em [-2,0] a parábola desce (decrescente);
em [0,2] ela sobe, pois f(x)=x^2 com x\ge 0 (crescente);
em [2,5] o segmento é horizontal (constante, não é crescente);
em [5,9] o segmento sobe de (5,4) até (9,6) (crescente).

Logo, f é crescente em [0,2] e em [5,9].

Resposta: [0,2] e [5,9].

b) Cada ponto cai em um trecho diferente do gráfico.

x=-\frac{3}{2}\in[-2,2]: f\left(-\frac32\right)=\left(-\frac32\right)^2=\frac94.
x=\frac72\in[2,5]: o trecho é horizontal em y=4, então f\left(\frac72\right)=4.
x=8\in[5,9]: o segmento passa por (5,4) e (9,6), com coeficiente angular \frac{6-4}{9-5}=\frac12. Assim, f(x)=4+\frac12(x-5)=\frac{x+3}{2} e f(8)=\frac{11}{2}.

Resposta: f\left(-\frac32\right)=\frac94, f\left(\frac72\right)=4 e f(8)=\frac{11}{2}.

c) O retângulo R_x tem base AB=9-x e altura f(x), então A(x)=(9-x)\,f(x). Como f muda de expressão, a área também muda:

para 0<x\le 2: f(x)=x^2, então A(x)=(9-x)x^2=9x^2-x^3;
para 2\le x\le 5: f(x)=4, então A(x)=4(9-x)=36-4x;
para 5\le x<9: f(x)=\frac{x+3}{2}, então A(x)=\frac{(9-x)(x+3)}{2}=\frac{27+6x-x^2}{2}.

Conferindo a continuidade: em x=2, 9\cdot4-8=28=36-8; em x=5, 36-20=16=\frac{27+30-25}{2}.

Resposta:

A(x)=\begin{cases}9x^2-x^3, & 0<x\le 2\\ 36-4x, & 2\le x\le 5\\ \dfrac{27+6x-x^2}{2}, & 5\le x<9\end{cases}

Assuntos: funções, gráfico de funções, função definida por partes.

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