Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2022
Uma sequência de números naturais é construída da seguinte forma: seu primeiro termo t_1 é escolhido como sendo um número natural qualquer. Se t_1 for par, então t_2 = \frac{t_1}{2} e, se t_1 for ímpar, então t_2 = 3t_1 + 1. Os termos seguintes t_n são obtidos de acordo com essa mesma regra. Por exemplo, se t_1 = 3, então t_2 = 10, t_3 = 5, t_4 = 16 e assim por diante.
Dessa forma, a partir de t_1 \in \mathbb{N}, para cada n \in \mathbb{N}, n \geq 2, a sequência t_n é definida como
a) Para t_1 = 22, determine t_4.
b) Determine todos os possíveis t_1 para os quais t_4 = 10.
c) Para t_1 = 26, determine t_{2022}.
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Resolução comentada
a) Aplicamos a regra termo a termo:
- t_1 = 22 (par), então t_2 = 11.
- t_2 = 11 (ímpar), então t_3 = 3\cdot 11 + 1 = 34.
- t_3 = 34 (par), então t_4 = 17.
t_4 = 17
b) Vamos de trás para frente. Um termo x pode vir de dois tipos de antecessor:
- 2x, que é par e, dividido por 2, dá x. Isso sempre serve.
- \frac{x-1}{3}, que só serve se for natural ímpar, pois só então 3\cdot\frac{x-1}{3}+1 = x.
Para t_4 = 10:
- t_3 = 20 ou t_3 = \frac{10-1}{3} = 3. O 3 é ímpar, então serve. Logo t_3 \in \{20, 3\}.
- Antecessores de 20: 40 (o outro seria \frac{19}{3}, que não é inteiro). Antecessores de 3: 6 (o outro seria \frac{2}{3}, que não é inteiro). Logo t_2 \in \{40, 6\}.
- Antecessores de 40: 80 e \frac{39}{3} = 13, que é ímpar e serve. Antecessores de 6: 12 (o outro seria \frac{5}{3}, que não é inteiro).
Conferindo: 12\to6\to3\to10, 13\to40\to20\to10 e 80\to40\to20\to10.
t_1 \in \{12,\ 13,\ 80\}
c) Para t_1 = 26:
Ou seja, t_9 = 4, t_{10} = 2, t_{11} = 1, e depois t_{12} = 4. A partir de t_9 a sequência repete 4, 2, 1 com período 3.
Assim, para n \ge 9, t_n = 4 quando n - 9 é múltiplo de 3.
Como 2022 - 9 = 2013 = 3\cdot 671, temos t_{2022} na mesma posição do ciclo que t_9.
t_{2022} = 4
Assuntos: sequências recursivas, periodicidade, números naturais.
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