Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2022

Question

Duas esferas de massa m, ambas carregadas eletricamente com a mesma carga q, estão localizadas nas extremidades de fios isolantes, de comprimento L, presos ao teto, e formam o arranjo estático mostrado na figura.

Duas esferas suspensas por fios a partir de um mesmo ponto no teto, cada fio formando um ângulo de 45° com a linha vertical tracejada. À esquerda, um vetor vertical para baixo representa a aceleração da gravidade g.

a) Na folha de respostas, faça um diagrama de corpo livre da esfera 1, indicando todas as forças que atuam sobre ela.

b) Determine a razão q^2/m em termos do comprimento L dos fios, da aceleração da gravidade g e da constante eletrostática do vácuo k.

c) Considere que as mesmas esferas são desconectadas dos fios e conectadas às extremidades de uma mola de constante elástica igual a 50\ \text{N/m}. O conjunto é deixado sobre uma superfície isolante e sem atrito, atingindo o equilíbrio quando a força elétrica entre elas é de 0{,}1\ \text{N}. Nessas condições, qual será o valor da energia armazenada na mola?

Note e adote:
Despreze as dimensões das esferas frente ao comprimento dos fios.

Answer 1

Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2022

2º dia · Física

Duas esferas de massa m, ambas carregadas eletricamente com a mesma carga q, estão localizadas nas extremidades de fios isolantes, de comprimento L, presos ao teto, e formam o arranjo estático mostrado na figura.

Duas esferas suspensas por fios a partir de um mesmo ponto no teto, cada fio formando um ângulo de 45° com a linha vertical tracejada. À esquerda, um vetor vertical para baixo representa a aceleração da gravidade g.

a) Na folha de respostas, faça um diagrama de corpo livre da esfera 1, indicando todas as forças que atuam sobre ela.

b) Determine a razão q^2/m em termos do comprimento L dos fios, da aceleração da gravidade g e da constante eletrostática do vácuo k.

c) Considere que as mesmas esferas são desconectadas dos fios e conectadas às extremidades de uma mola de constante elástica igual a 50\ \text{N/m}. O conjunto é deixado sobre uma superfície isolante e sem atrito, atingindo o equilíbrio quando a força elétrica entre elas é de 0{,}1\ \text{N}. Nessas condições, qual será o valor da energia armazenada na mola?

Note e adote:
Despreze as dimensões das esferas frente ao comprimento dos fios.

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Resolução comentada

a) Sobre a esfera 1 atuam três forças:

Peso \vec P, vertical e para baixo, de módulo mg.
Tração \vec T, ao longo do fio, apontando para o ponto de fixação no teto (para cima e para a direita), formando 45^\circ com a vertical.
Força elétrica \vec F_e, horizontal e para a esquerda. As cargas são iguais, então a força é de repulsão e a esfera 1 é empurrada para longe da esfera 2.

Como a esfera está em equilíbrio, \vec P+\vec T+\vec F_e=\vec 0.

Diagrama: \vec P para baixo, \vec T ao longo do fio até o teto e \vec F_e horizontal para a esquerda.

b) Decompondo a tração no equilíbrio:

Vertical: T\cos 45^\circ = mg
Horizontal: T\,\text{sen}\,45^\circ = F_e

Dividindo as duas equações:

F_e = mg\,\text{tg}\,45^\circ = mg

A distância entre as esferas é d = 2L\,\text{sen}\,45^\circ = L\sqrt2, logo d^2 = 2L^2. A lei de Coulomb dá:

F_e=\frac{kq^2}{d^2}=\frac{kq^2}{2L^2}

Igualando a mg:

\frac{kq^2}{2L^2}=mg \;\Rightarrow\; \frac{q^2}{m}=\frac{2gL^2}{k}

Resposta: \dfrac{q^2}{m}=\dfrac{2gL^2}{k}

c) Sobre a superfície sem atrito, cada esfera fica em equilíbrio sob a força elétrica de repulsão e a força elástica da mola. Portanto a mola está esticada e sua força é igual à elétrica:

k_m x = F_e \Rightarrow x=\frac{0{,}1}{50}=2\times10^{-3}\ \text{m}

A energia armazenada na mola é:

E=\frac{k_m x^2}{2}=\frac{50\cdot(2\times10^{-3})^2}{2}=1\times10^{-4}\ \text{J}

Resposta: E = 1\times10^{-4}\ \text{J}

Assuntos: eletrostática, equilíbrio de forças, energia potencial elástica.

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