Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2022

2º dia · Física

Uma bola de borracha de massa m = 50\text{ gramas} é abandonada do repouso, a partir de uma certa altura h. A resistência do ar não é desprezível, e o movimento da bola durante 0{,}6\text{ segundo} após o início da queda é registrado por uma câmera de alta resolução. Considerando o esquema da situação inicial e os gráficos da dependência temporal da altura y e da velocidade vertical v_y da bola, responda às questões a seguir.

Esquema ilustrando a bola em repouso a uma altura h acima do solo, com eixo vertical y apontando para cima, seguido pelo gráfico de y(t) em metros por t em segundos, mostrando queda de 0,9 m até 0 no instante 0,5 s e subsequente subida, e pelo gráfico de vy(t) em m/s por t em segundos, decrescendo de 0 até cerca de -3 m/s em t = 0,5 s, sofrendo descontinuidade para +2 m/s e depois diminuindo linearmente até 0,6 s.

a) No instante t = 0{,}2\text{ s}, a força resultante que atua sobre a bola tem sentido para cima, sentido para baixo ou tem intensidade nula? Justifique sua resposta.

b) Calcule a energia cinética perdida pela bola entre os instantes imediatamente antes e imediatamente depois do choque com o solo.

c) Calcule o módulo da força média de resistência do ar atuando sobre a bola entre o instante inicial e o instante imediatamente antes de ela atingir o solo pela primeira vez.

Note e adote:
Despreze as dimensões da bola frente à altura inicial.
Aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.
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Resolução comentada

a)

Como o eixo vertical está orientado para cima, uma aceleração negativa tem sentido para baixo. No instante t=0{,}2\ \text{s}, o gráfico de v_y(t) apresenta inclinação negativa: a velocidade está ficando mais negativa, ou seja, o módulo da velocidade de queda está aumentando. Portanto,

a_y=\frac{dv_y}{dt}<0.

Pela segunda lei de Newton, F_{\text{resultante},y}=ma_y, a força resultante tem o mesmo sentido da aceleração. Nesse instante, o peso supera a resistência do ar, que atua para cima.

A força resultante tem sentido para baixo, pois a inclinação do gráfico de velocidade é negativa.

b)

O choque ocorre em t=0{,}5\ \text{s}. Pelo gráfico, as velocidades imediatamente antes e depois são, respectivamente, v_{\text{antes}}=-3\ \text{m/s} e v_{\text{depois}}=+2\ \text{m/s}. Convertendo a massa, temos m=0{,}050\ \text{kg}.

A energia cinética depende do quadrado da velocidade, portanto seu valor não depende do sentido do movimento. A energia cinética perdida é a diferença entre os valores antes e depois do choque:

E_{\text{perdida}}=\frac{m}{2}\left(v_{\text{antes}}^2-v_{\text{depois}}^2\right).
E_{\text{perdida}}=\frac{0{,}050}{2}(9-4)=0{,}125\ \text{J}.

A energia cinética perdida no choque é 0{,}125\ \text{J}.

c)

Durante a queda, atuam o peso, para baixo, e a resistência do ar, para cima. Para calcular a força média no intervalo de tempo, usamos o teorema do impulso: a força resultante média multiplicada pela duração do intervalo é igual à variação da quantidade de movimento. Não é necessário supor aceleração constante.

Do início até imediatamente antes do choque, \Delta t=0{,}5\ \text{s} e a velocidade passa de zero para -3\ \text{m/s}. Assim,

\overline{F}_{\text{resultante},y}=\frac{m\Delta v_y}{\Delta t}=\frac{0{,}050(-3-0)}{0{,}5}=-0{,}30\ \text{N}.

Como o peso vale mg=0{,}50\ \text{N}, temos:

\overline{F}_{\text{ar}}-0{,}50=-0{,}30\quad\Rightarrow\quad\overline{F}_{\text{ar}}=0{,}20\ \text{N}.

O módulo da força média de resistência do ar é 0{,}20\ \text{N}.

Assuntos: leis de newton, energia cinética, impulso e quantidade de movimento.

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