Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2022
A conversão de energia mecânica das ondas do mar é uma promissora fonte alternativa de energia limpa, e vários protótipos têm sido desenvolvidos para este fim. Uma das possíveis aplicações é o uso de câmaras de ar pressurizadas que usem a oscilação das ondas do mar para fazer girar o eixo de um dínamo ou de uma turbina, gerando energia elétrica.
Considere o esquema mostrado na figura: uma boia flutua no mar e seu movimento vertical faz mover o pistão 1 de área A que comprime o ar em uma câmara pressurizada a uma pressão P_0. A distância máxima entre o pistão 1 e o topo da câmara é L. Um segundo pistão (pistão 2) de área A/10 colocado horizontalmente na lateral superior da câmara é acoplado a um mecanismo que faz girar um dínamo.
Considere inicialmente que ambos os pistões são livres para se movimentarem sem atrito e que a pressão e a temperatura do gás no interior da câmara não se alterem significativamente.
a) Se as ondas do mar forem ondas perfeitamente harmônicas com velocidade de 3\ \text{m/s} e a distância entre as cristas for de 5\ \text{m}, calcule o período de rotação do dínamo.
b) Se a amplitude das ondas do mar é h, calcule a distância horizontal máxima d percorrida pelo pistão 2.
Considere agora uma situação em que o gerador é desativado, travando-se o pistão 2, de modo que ele não possa se mover.
c) Calcule a pressão máxima na câmara considerando que a temperatura do gás em seu interior não varie. Expresse sua resposta em termos da pressão inicial na câmara P_0, e de L e h.
| Note e adote: |
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| Considere o gás no interior da câmara como sendo ideal e em equilíbrio termodinâmico em todas as etapas do processo. |
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Resolução comentada
a) O dínamo gira acompanhando a oscilação da boia: a cada onda que passa, a boia sobe e desce uma vez, o pistão 2 faz um ciclo completo e o eixo dá uma volta. Assim, o período de rotação é igual ao período da onda.
Pela equação fundamental da ondulatória, v=\lambda/T, com \lambda=5\ \text{m} (distância entre cristas) e v=3\ \text{m/s}:
T=\dfrac{5}{3}\ \text{s}\approx 1{,}7\ \text{s}
b) Com os pistões livres, a pressão e a temperatura do gás não mudam. Então o volume de gás também não muda: o que o pistão 1 "empurra" para dentro da câmara, o pistão 2 deixa sair.
Na figura, h é o desnível entre o vale e a crista. Esse é o curso vertical do pistão 1, ligado à boia. O volume deslocado pelo pistão 1 é A\,h. O pistão 2, de área A/10, desloca \dfrac{A}{10}\,d. Igualando:
É o princípio da alavanca hidráulica: a área menor tem deslocamento maior.
d=10\,h
c) Com o pistão 2 travado, o gás é comprimido isotermicamente pelo pistão 1. A pressão é máxima quando a boia está na crista, com o pistão 1 no ponto mais alto.
O estado inicial é o da distância máxima L, com pressão P_0 e volume V_0=A\,L. No estado final, o pistão subiu h, e o volume é V=A(L-h).
Para gás ideal a temperatura constante vale a lei de Boyle, P_0V_0=P\,V:
P_{\max}=\dfrac{P_0\,L}{L-h}
Assuntos: ondulatória, transformação isotérmica, lei de Boyle.
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