Questão F01 da 2ª fase da FUVEST 2022

2º dia · Física

Diversos processos celulares presentes no corpo humano envolvem fenômenos elétricos. Um dos mais importantes é o fato de uma membrana celular, que separa o interior celular do exterior, apresentar um acúmulo de ânions (cargas negativas) e cátions (cargas positivas) nas superfícies interna e externa, respectivamente, o que resulta no surgimento de uma diferença de potencial U ao longo da membrana. Considere que U cresce linearmente de 0 a U_0 na região entre x = 0 e x = d, como mostra a figura.

Gráfico do potencial elétrico U em função da posição x. À esquerda do eixo vertical (x < 0) está indicado o interior celular com quatro cargas negativas alinhadas verticalmente. Entre x = 0 e x = d está a membrana celular, onde o potencial U cresce linearmente de 0 na origem até U₀ em x = d. À direita de x = d (x > d), o potencial U permanece constante em U₀ e há a indicação de meio exterior com quatro cargas positivas alinhadas verticalmente.

a) Indique o sentido do vetor campo elétrico no interior da membrana (se está apontando para o interior ou para o exterior da célula). Justifique sua resposta.

b) Obtenha o módulo do campo elétrico (em \text{V/m}) considerando que a membrana tenha espessura d = 64\ \text{Å} e que U_0 = 0{,}08\ \text{V}.

c) Supondo agora uma membrana em que o campo elétrico tenha intensidade 10^7\ \text{V/m}, encontre a razão F_e/F_g, em que F_e é o módulo da força eletrostática e F_g é o módulo da força gravitacional, ambas exercidas sobre um íon monovalente localizado na região 0 < x < d, conforme a figura.

Note e adote:
1\text{Å} = 10^{-10}\ \text{m}
Carga de um íon monovalente = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}.
Considere, para efeitos de cálculo desta questão, a massa de um íon como 10^{-30}\ \text{kg}.
Aceleração da gravidade: \text{g} = 10\text{m/s}^2.
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Resolução comentada

a) O campo elétrico aponta sempre do maior para o menor potencial. Na membrana, o potencial cresce de 0 (em x=0, interior) até U_0 (em x=d, exterior). Logo, o potencial é maior no lado do exterior e o campo aponta no sentido de x decrescente, ou seja, do exterior para o interior da célula.

Isso é coerente com a distribuição de cargas: as cargas positivas ficam na superfície externa e as negativas na interna. As linhas de campo saem das positivas e chegam às negativas.

O campo elétrico aponta para o interior da célula.

b) Como U cresce linearmente com x, o campo é uniforme na membrana e vale E = \dfrac{U_0}{d}.

Convertendo a espessura: d = 64\ \text{Å} = 64\times 10^{-10}\ \text{m} = 6{,}4\times 10^{-9}\ \text{m}.

E=\frac{0{,}08}{6{,}4\times 10^{-9}}=1{,}25\times 10^{7}\ \text{V/m}

E = 1{,}25\times 10^{7}\ \text{V/m}

c) Para o íon monovalente, com q = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{C} e E = 10^7\ \text{V/m}:

  1. Força elétrica: F_e = qE = 1{,}6\times10^{-19}\times10^{7} = 1{,}6\times10^{-12}\ \text{N}.
  2. Força gravitacional (peso): F_g = mg = 10^{-30}\times 10 = 10^{-29}\ \text{N}.
  3. Razão:
\frac{F_e}{F_g}=\frac{1{,}6\times10^{-12}}{10^{-29}}=1{,}6\times10^{17}

A força gravitacional é desprezível diante da elétrica.

F_e/F_g = 1{,}6\times10^{17}

Assuntos: campo elétrico uniforme, diferença de potencial, força elétrica e peso.

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