Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2021

2º dia · Matemática

Considere a função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x) = p + q \cos(rx - s), em que p, q, r e s são números reais e o cosseno é calculado sobre valores em radianos.

a) Qual é o valor máximo de f para o caso em que p = q = r = s = 1?

b) Quais são os valores do período e da amplitude de f, para o caso em que p = -1, q = 2, r = \pi e s = 0?

c) Determine valores de p, q, r e s no caso em que o gráfico de f é igual ao mostrado na figura a seguir.

Gráfico de uma função cossenoidal periódica em linha vermelha sobre um plano cartesiano com malha quadriculada. O eixo horizontal x possui marcações inteiras de -2 a 8, e o eixo vertical vai de -2 a 3. A curva atinge valor máximo 3 em x = 1,5 e x = 5,5, e atinge valor mínimo -2 em x = -0,5, x = 3,5 e x = 7,5.

Note e adote:
A amplitude de uma função é a diferença entre seus valores máximo e mínimo.
O gráfico apresentado refere-se somente ao item (c).

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Resolução comentada

a) Com p=q=r=s=1, temos f(x)=1+\cos(x-1). O cosseno varia entre -1 e 1, e o valor 1 é atingido, por exemplo, em x=1. Logo, o máximo de f é 1+1=2.

O valor máximo de f é 2.

b) Com p=-1, q=2, r=\pi e s=0, temos f(x)=-1+2\cos(\pi x).

  • Período: T=\dfrac{2\pi}{r}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2.
  • Valores extremos: o máximo é -1+2\cdot 1=1 e o mínimo é -1+2\cdot(-1)=-3.
  • Amplitude, segundo a definição do enunciado (máximo menos mínimo): 1-(-3)=4.

Período 2 e amplitude 4.

c) Pelo gráfico, o máximo é 3 e o mínimo é -2.

  1. Termo constante p: é o ponto médio entre o máximo e o mínimo, p=\dfrac{3+(-2)}{2}=\dfrac{1}{2}.
  2. Coeficiente q: é metade da diferença entre máximo e mínimo, q=\dfrac{3-(-2)}{2}=\dfrac{5}{2}.
  3. Coeficiente r: os máximos ocorrem em x=1{,}5 e x=5{,}5, então o período é T=4. Assim, r=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{\pi}{2}.
  4. Coeficiente s: com q>0, o máximo ocorre quando o argumento do cosseno vale 0. Em x=1{,}5, temos \dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{3}{2}-s=0, logo s=\dfrac{3\pi}{4}.

Verificação: em x=0, f(0)=\dfrac12+\dfrac52\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac12-\dfrac{5\sqrt2}{4}\approx-1{,}27, o que combina com o gráfico. Em x=3{,}5, o argumento é \pi, e f=\dfrac12-\dfrac52=-2, que é o mínimo.

p=\dfrac12, q=\dfrac52, r=\dfrac{\pi}{2} e s=\dfrac{3\pi}{4} (outros valores de s que diferem de \dfrac{3\pi}{4} por múltiplos de 2\pi também servem).

Assuntos: função cosseno, período e amplitude, gráficos de funções trigonométricas.

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