Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2021

Question

O perímetro de uma figura plana é o comprimento de seu contorno. O diâmetro de uma figura plana é a maior distância entre dois pontos do contorno dessa figura. Calcule a razão entre o perímetro e o diâmetro em cada uma das figuras planas nos casos a seguir:

a) Um retângulo com lados de medidas 3 e 4.

b) O triângulo obtusângulo ABC mostrado na Figura 1.

c) A região colorida dentro do círculo de raio r mostrada na Figura 2.

Figura 1: Triângulo obtusângulo ABC com lado AC de comprimento , prolongamento horizontal pontilhado de comprimento e segmento vertical pontilhado de altura perpendicular ao prolongamento, ligando ao vértice B.

Figura 2: Região circular sombreada delimitada por uma corda vertical e um arco maior de circunferência. São indicados raios de comprimento e um ângulo central de .

Answer 1

Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2021

2º dia · Matemática

O perímetro de uma figura plana é o comprimento de seu contorno. O diâmetro de uma figura plana é a maior distância entre dois pontos do contorno dessa figura. Calcule a razão entre o perímetro e o diâmetro em cada uma das figuras planas nos casos a seguir:

a) Um retângulo com lados de medidas 3 e 4.

b) O triângulo obtusângulo ABC mostrado na Figura 1.

c) A região colorida dentro do círculo de raio r mostrada na Figura 2.

Figura 1: Triângulo obtusângulo ABC com lado AC de comprimento , prolongamento horizontal pontilhado de comprimento e segmento vertical pontilhado de altura perpendicular ao prolongamento, ligando ao vértice B.

Figura 2: Região circular sombreada delimitada por uma corda vertical e um arco maior de circunferência. São indicados raios de comprimento e um ângulo central de .

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Resolução comentada

a) O perímetro do retângulo 3\times 4 é 2(3+4)=14. O diâmetro é a maior distância entre dois pontos do contorno, que é a diagonal: \sqrt{3^2+4^2}=5.

\frac{14}{5}

Razão: \dfrac{14}{5}=2{,}8

b) Seja D o vértice do ângulo reto, no prolongamento de AC. Então CD=BD=\ell e AD=2\ell. Calculando os lados:

AC=\ell.
BC=\sqrt{\ell^2+\ell^2}=\ell\sqrt2 (triângulo BCD).
AB=\sqrt{(2\ell)^2+\ell^2}=\ell\sqrt5 (triângulo ABD).

O perímetro é \ell(1+\sqrt2+\sqrt5). Num triângulo, a maior distância entre dois pontos do contorno é o maior lado. Como \sqrt5>\sqrt2>1, o diâmetro é AB=\ell\sqrt5. Logo:

\frac{\ell(1+\sqrt2+\sqrt5)}{\ell\sqrt5}=\frac{1+\sqrt2+\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{5+\sqrt5+\sqrt{10}}{5}

Razão: \dfrac{1+\sqrt2+\sqrt5}{\sqrt5}=\dfrac{5+\sqrt5+\sqrt{10}}{5}\approx 1{,}93

c) A corda vertical subtende o ângulo central de 120^\circ, que fica do lado esquerdo. Então o contorno da região é formado por:

um arco de 360^\circ-120^\circ=240^\circ, de comprimento \dfrac{240}{360}\cdot 2\pi r=\dfrac{4\pi r}{3};
a corda, de comprimento 2r\,\sen 60^\circ=r\sqrt3.

Perímetro: r\left(\dfrac{4\pi}{3}+\sqrt3\right).

Para o diâmetro, note que nenhuma distância entre dois pontos do círculo passa de 2r. Essa distância é atingida se o arco de 240^\circ contiver dois pontos diametralmente opostos. Isso acontece: o arco vai de -120^\circ a 120^\circ, e os ângulos -100^\circ e 80^\circ, por exemplo, estão ambos nele e diferem de 180^\circ. A corda mede r\sqrt3<2r, então não altera o resultado. O diâmetro é 2r.

\frac{r\left(\frac{4\pi}{3}+\sqrt3\right)}{2r}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}

Razão: \dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{4\pi+3\sqrt3}{6}

Assuntos: perímetro, geometria plana, círculo e arco.

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Questão M05 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2021