Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2021

2º dia · Matemática

Um parque industrial com 24 indústrias foi estruturado de forma que seu sistema de esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um serviço de inspeção no ponto O detectou uma substância proibida que pode ter vindo de qualquer uma das indústrias, com igual probabilidade. Para autuar as indústrias irregulares, o serviço se decidiu pela seguinte estratégia: usar 6 kits de teste em amostras coletadas nos pontos A, B, C, D, E e F, no primeiro dia e, no segundo dia, fazer o mesmo nas saídas de todas as indústrias dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia. Um dos cenários examinados pelo serviço de inspeção foi o de haver exatamente quatro indústrias irregulares.

Diagrama em árvore do sistema de esgoto partindo do ponto O para seis pontos intermediários A, B, C, D, E e F, cada qual conectado a quatro indústrias representadas por círculos azuis, totalizando 24 indústrias.

a) Quantas são as formas possíveis de exatamente quatro indústrias irregulares estarem distribuídas entre as 24 indústrias do parque?

b) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes nos dois dias seja 22?

c) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes usados nos dois dias seja 14 ou menos?

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Resolução comentada

a) As 4 indústrias irregulares são escolhidas entre as 24, sem importar a ordem. O número de formas é:

\binom{24}{4}=\frac{24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}{4!}=23\cdot 22\cdot 21=10\,626

10 626 formas.

b) No 1º dia gastam-se 6 kits. No 2º dia, cada grupo contaminado (com pelo menos uma indústria irregular) gasta 4 kits, um por indústria. Se k é o número de grupos contaminados, o gasto total é 6+4k.

Gasto 22 significa 6+4k=22, ou seja, k=4. Com 4 irregulares e 4 grupos contaminados, cada grupo contaminado tem exatamente uma irregular.

  1. Escolher os 4 grupos: \binom{6}{4}=15.
  2. Escolher 1 indústria em cada um desses grupos: 4^4=256.

Casos favoráveis: 15\cdot 256=3\,840.

P=\frac{3\,840}{10\,626}=\frac{640}{1\,771}\approx 0{,}36

P=\dfrac{640}{1771}\approx 36\%.

c) Gasto \le 14 significa 6+4k\le 14, ou seja, k\le 2. Com 4 irregulares, k\ge1.

  • k=1 (gasto 10): as 4 irregulares estão no mesmo grupo. Há 6 maneiras, uma para cada grupo.
  • k=2 (gasto 14): escolhem-se 2 grupos, \binom{6}{2}=15 maneiras. Dentro desses 2 grupos há 8 indústrias, e as 4 irregulares devem aparecer nos dois grupos. São \binom{8}{4}=70 escolhas, menos as 2 em que todas ficam no mesmo grupo, o que dá 68. (Conferindo: 4\cdot4+4\cdot4+6\cdot6=68, para as distribuições 1+3, 3+1 e 2+2.) Total: 15\cdot 68=1\,020.

Casos favoráveis: 6+1\,020=1\,026.

P=\frac{1\,026}{10\,626}=\frac{171}{1\,771}\approx 0{,}097

P=\dfrac{171}{1771}\approx 9{,}7\%.

Assuntos: análise combinatória, probabilidade.

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