Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2021
São dados os pontos no plano cartesiano P_1 = (3; 3), P_2 = (5; 1), P_3 = (3; -1) e P_4 = (-2; 5).
a) Determine a equação da reta que passa por P_3 e é paralela à reta que passa por P_1 e P_4.
b) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos P_1, P_2 e P_3.
c) Sendo C a circunferência do item (b) e P o ponto de intersecção de C com o eixo Ox, que está mais próximo da origem, determine a equação da reta tangente a C em P.
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Resolução comentada
a) Primeiro calculamos o coeficiente angular da reta que passa por P_1 e P_4:
Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. A reta pedida passa por P_3=(3;-1):
2x+5y-1=0 (ou y=-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}).
b) O centro da circunferência está na mediatriz de cada corda. P_1=(3;3) e P_3=(3;-1) têm mesma abscissa, então a mediatriz de P_1P_3 é a reta horizontal y=1, que passa pelo ponto médio (3;1). Logo o centro é (a;1).
A distância do centro a P_2 deve ser igual à distância a P_1:
O centro é (3;1) e o raio é |5-3|=2. Conferindo com P_1: \sqrt{0+4}=2.
(x-3)^2+(y-1)^2=4
c) No eixo Ox, y=0:
Os valores são \approx 4{,}73 e \approx 1{,}27. O mais próximo da origem é x=3-\sqrt{3}, então P=(3-\sqrt{3};0).
A tangente é perpendicular ao raio que liga o centro (3;1) a P. Esse raio tem direção P-(3;1)=(-\sqrt{3};-1), com coeficiente angular \frac{-1}{-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}. Portanto a tangente tem coeficiente angular -\sqrt{3}:
y=-\sqrt{3}\,x+3\sqrt{3}-3, ou seja, \sqrt{3}x+y-3\sqrt{3}+3=0.
Assuntos: geometria analítica, reta, circunferência.
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