Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2021

Question

Esboço de um estacionamento retangular de 40m por 100m com quatro câmeras A, B, C e D e as regiões I, II e III

A figura mostra o esboço de um estacionamento com forma retangular de dimensões 40m por 100m. O proprietário instalou 4 câmeras de segurança distribuídas conforme a figura. A câmera A cobre a região I, as câmeras B e C cobrem a região II e a câmera D cobre a região III. A figura apresenta as regiões I, II e III em cor e fornece as medidas necessárias.

a) Determine a área da região I.

b) Determine a área da região II.

c) Qual é a porcentagem da área da região que não é vigiada por câmera alguma, em relação à área total do estacionamento?

Note e adote:
A figura apresentada não está, necessariamente, em escala.

Answer 1

Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2021

2º dia · Matemática

Esboço de um estacionamento retangular de 40m por 100m com quatro câmeras A, B, C e D e as regiões I, II e III

A figura mostra o esboço de um estacionamento com forma retangular de dimensões 40m por 100m. O proprietário instalou 4 câmeras de segurança distribuídas conforme a figura. A câmera A cobre a região I, as câmeras B e C cobrem a região II e a câmera D cobre a região III. A figura apresenta as regiões I, II e III em cor e fornece as medidas necessárias.

a) Determine a área da região I.

b) Determine a área da região II.

c) Qual é a porcentagem da área da região que não é vigiada por câmera alguma, em relação à área total do estacionamento?

Note e adote:
A figura apresentada não está, necessariamente, em escala.

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Resolução comentada

a) A região I é o triângulo retângulo formado pelo canto superior esquerdo, por A e pelo canto inferior esquerdo. O lado vertical mede 40 m e a hipotenusa (de A ao canto inferior esquerdo) mede 50 m. Pelo teorema de Pitágoras, o cateto horizontal vale:

\sqrt{50^2-40^2}=\sqrt{900}=30\ \text{m}

Logo, A está a 30 m do lado esquerdo e:

S_I=\frac{30\cdot 40}{2}=600\ \text{m}^2

Resposta: 600\ \text{m}^2.

b) Como A está a 30 m do lado esquerdo e D está no canto superior direito, com B a 10 m de D, temos AB = 100-30-10 = 60 m.

O segmento de 50 m que sai de D até a base forma um triângulo retângulo de altura 40 m. O cateto horizontal vale 30 m, como em (a). Assim, o ponto E, onde esse segmento toca a base, está a 30 m do lado direito, ou seja, a 70 m do lado esquerdo.

O ponto C está a 5 m do lado esquerdo, então CE = 70-5 = 65 m.

A região II é o trapézio ABEC, com bases AB=60 m e CE=65 m e altura 40 m:

S_{II}=\frac{(60+65)\cdot 40}{2}=2500\ \text{m}^2

Resposta: 2500\ \text{m}^2.

c) A parte não vigiada são os dois triângulos brancos.

Triângulo de vértices A, canto inferior esquerdo e C: base 5 m e altura 40 m, área \frac{5\cdot 40}{2}=100\ \text{m}^2.
Triângulo de vértices B, D e E: base BD=10 m e altura 40 m, área \frac{10\cdot 40}{2}=200\ \text{m}^2.

Área não vigiada: 300\ \text{m}^2.

Conferência: a região III é um triângulo retângulo de catetos 30 m e 40 m, com área de 600\ \text{m}^2. Então 600+2500+600+300=4000\ \text{m}^2, que é a área total do retângulo (40\cdot100).

\frac{300}{4000}=0{,}075=7{,}5\%

Resposta: 7{,}5\%.

Assuntos: geometria plana, áreas de triângulos e trapézios, teorema de pitágoras.

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