Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2021

Question

Um modelo simplificado de uma panela de pressão consiste em um recipiente cilíndrico provido de uma tampa com borda emborrachada que previne a saída de vapor. No centro da tampa, sobre um orifício de área A, repousa uma válvula de massa m que pode se deslocar verticalmente, sem atrito, e que impede que a pressão P interna à panela ultrapasse um valor limite. A pressão atmosférica e a aceleração da gravidade no local de operação da panela são, respectivamente, P_0 e g.

Esquema em corte transversal da panela de pressão com válvula superior em vermelho e guias verticais, com detalhe ampliado em círculo tracejado mostrando a região de apoio da válvula sobre a borda da tampa.

a) Liste todas as forças que atuam verticalmente sobre a válvula num instante em que ela está em perfeito contato com a tampa da panela.

b) Deseja-se que a panela atinja uma pressão interna de operação não inferior a 2P_0. Por outro lado, os materiais de que é feita a panela são capazes de suportar uma pressão interna máxima igual a 3{,}5P_0, além da qual a panela explode. Qual deve ser a faixa de valores da massa m da válvula para que a panela funcione segundo as especificações?

c) Suponha que a panela, vedada, esteja sobre a chama do fogão e que seu interior esteja completamente ocupado por uma mistura de ar com vapor de água, totalizando N mols de gás que pode ser considerado ideal. Nesse momento, a pressão interna é P_1, e a energia cinética média das moléculas no gás é E_1. Ao longo de mais algum tempo, com a panela ainda perfeitamente vedada, a chama do fogão transfere energia para o gás e eleva a energia cinética média das moléculas para um valor E_2, que é 10\% maior do que E_1. Determine a razão entre o valor P_2 da pressão interna nesse instante final e seu valor inicial P_1.

Note e adote:
Considere que a área de contato entre a válvula e os seus pontos de apoio na panela é desprezível frente à área A.

Answer 1

Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2021

2º dia · Física

Um modelo simplificado de uma panela de pressão consiste em um recipiente cilíndrico provido de uma tampa com borda emborrachada que previne a saída de vapor. No centro da tampa, sobre um orifício de área A, repousa uma válvula de massa m que pode se deslocar verticalmente, sem atrito, e que impede que a pressão P interna à panela ultrapasse um valor limite. A pressão atmosférica e a aceleração da gravidade no local de operação da panela são, respectivamente, P_0 e g.

Esquema em corte transversal da panela de pressão com válvula superior em vermelho e guias verticais, com detalhe ampliado em círculo tracejado mostrando a região de apoio da válvula sobre a borda da tampa.

a) Liste todas as forças que atuam verticalmente sobre a válvula num instante em que ela está em perfeito contato com a tampa da panela.

b) Deseja-se que a panela atinja uma pressão interna de operação não inferior a 2P_0. Por outro lado, os materiais de que é feita a panela são capazes de suportar uma pressão interna máxima igual a 3{,}5P_0, além da qual a panela explode. Qual deve ser a faixa de valores da massa m da válvula para que a panela funcione segundo as especificações?

c) Suponha que a panela, vedada, esteja sobre a chama do fogão e que seu interior esteja completamente ocupado por uma mistura de ar com vapor de água, totalizando N mols de gás que pode ser considerado ideal. Nesse momento, a pressão interna é P_1, e a energia cinética média das moléculas no gás é E_1. Ao longo de mais algum tempo, com a panela ainda perfeitamente vedada, a chama do fogão transfere energia para o gás e eleva a energia cinética média das moléculas para um valor E_2, que é 10\% maior do que E_1. Determine a razão entre o valor P_2 da pressão interna nesse instante final e seu valor inicial P_1.

Note e adote:
Considere que a área de contato entre a válvula e os seus pontos de apoio na panela é desprezível frente à área A.

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Resolução comentada

a) Na vertical, atuam quatro forças sobre a válvula:

o peso m g, para baixo;
a força da pressão atmosférica sobre a face superior, P_0 A, para baixo;
a força da pressão do gás no interior da panela sobre a face inferior, P A, para cima;
a força normal exercida pelos apoios da borda da tampa, para cima. Ela existe porque a válvula está em contato com a tampa. Pelo "Note e adote", a área de contato é desprezível, então essa força não é calculada como pressão vezes área.

Como a válvula está em equilíbrio, PA + N = P_0A + mg. A normal só existe enquanto PA < P_0A + mg e se anula quando a válvula está prestes a subir.

Forças: peso, força da pressão atmosférica (P_0A), força da pressão interna (PA) e normal dos apoios da tampa.

b) A pressão máxima na panela é a do instante em que a válvula está prestes a levantar. Nesse instante a normal é nula, e o equilíbrio fica:

P A = P_0 A + m g \;\Rightarrow\; P_{\text{máx}} = P_0 + \frac{m g}{A}

A pressão de operação precisa ser pelo menos 2P_0 e no máximo 3{,}5P_0.

Condição mínima: P_0 + \dfrac{mg}{A} \ge 2P_0 \Rightarrow m \ge \dfrac{P_0 A}{g}.
Condição máxima: P_0 + \dfrac{mg}{A} \le 3{,}5P_0 \Rightarrow m \le \dfrac{2{,}5\,P_0 A}{g}.

\dfrac{P_0A}{g} \le m \le \dfrac{2{,}5\,P_0A}{g}

c) A panela está vedada e rígida, então N e o volume V são constantes. Para o gás ideal, PV = NRT.

A energia cinética média das moléculas é proporcional à temperatura absoluta: E \propto T. Logo, P \propto T \propto E a V e N constantes.

\frac{P_2}{P_1} = \frac{E_2}{E_1} = 1{,}10

P_2/P_1 = 1{,}1 (a pressão aumenta 10%).

Assuntos: equilíbrio de forças e pressão, gases ideais, energia cinética média e temperatura.

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Questão F02 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2021