Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2020

2º dia · Matemática

É dada a função f: [0, \text{π}] \to \mathbb{R} definida por f(x) = \sen^4 x + \cos^4 x, para todo x \in [0, \text{π}].

a) Apresente três valores x \in [0, \text{π}] para os quais f(x) = 1 .

b) Determine os valores x \in [0, \text{π}] para os quais f(x) = \frac{5}{8} .

c) Determine os valores x \in [0, \text{π}] para os quais \frac{1}{2} f(x) + \frac{3}{8} \sen(2x) \geqslant \frac{5}{8} .

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Resolução comentada

a) Primeiro simplifique f usando \sen^2 x+\cos^2 x=1:

f(x)=(\sen^2 x+\cos^2 x)^2-2\sen^2 x\cos^2 x=1-\tfrac{1}{2}(2\sen x\cos x)^2=1-\tfrac{1}{2}\sen^2(2x).

Assim, f(x)=1 equivale a \sen^2(2x)=0, ou seja, \sen(2x)=0. Com 2x\in[0,2\pi], temos 2x=0,\ \pi,\ 2\pi, logo x=0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi.

Três valores possíveis: x=0, x=\frac{\pi}{2} e x=\pi.

b) Usando f(x)=1-\frac12\sen^2(2x):

1-\tfrac12\sen^2(2x)=\tfrac58\ \Rightarrow\ \sen^2(2x)=\tfrac34\ \Rightarrow\ \sen(2x)=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}.

Como 2x\in[0,2\pi], os valores possíveis são 2x=\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}. Dividindo por 2:

x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{5\pi}{6}.

c) Seja s=\sen(2x). A inequação fica

\tfrac12\left(1-\tfrac12 s^2\right)+\tfrac38 s\ge\tfrac58 .

Multiplicando por 8:

  1. 4-2s^2+3s\ge 5
  2. 2s^2-3s+1\le 0
  3. As raízes são s=\frac12 e s=1, então \frac12\le s\le 1.

Como s\le1 sempre, a condição é \sen(2x)\ge\frac12. Para 2x\in[0,2\pi], isso ocorre quando \frac{\pi}{6}\le 2x\le\frac{5\pi}{6}. Dividindo por 2:

\frac{\pi}{12}\le x\le\frac{5\pi}{12}.

Assuntos: trigonometria, equações trigonométricas, inequações trigonométricas.

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