Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2020

Question

Resolva os três itens abaixo:

a) Considere o conjunto formado pelos números complexos z que cumprem a condição \text{Re}(z) = \text{Im}(z). Cada elemento desse conjunto será objeto da transformação que leva um número complexo em seu conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de Argand-Gauss) da folha de respostas o conjunto resultante após essa transformação.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo tais que z \neq -1 e para os quais \frac{z-1}{z+1} é um número imaginário puro.

c) Determine as partes reais de todos os números complexos z tais que as representações de z, i e 1 no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

Answer 1

Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2020

2º dia · Matemática

Resolva os três itens abaixo:

a) Considere o conjunto formado pelos números complexos z que cumprem a condição \text{Re}(z) = \text{Im}(z). Cada elemento desse conjunto será objeto da transformação que leva um número complexo em seu conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de Argand-Gauss) da folha de respostas o conjunto resultante após essa transformação.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo tais que z \neq -1 e para os quais \frac{z-1}{z+1} é um número imaginário puro.

c) Determine as partes reais de todos os números complexos z tais que as representações de z, i e 1 no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

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Resolução comentada

a) Os números com \text{Re}(z)=\text{Im}(z) são z=a+ai, com a\in\mathbb{R}. Eles formam a reta y=x do plano complexo, bissetriz do 1º e do 3º quadrantes.

O conjugado é \bar z=a-ai, cuja parte real é a e cuja parte imaginária é -a. Cada ponto (a,a) vai para (a,-a), isto é, fica sobre a reta y=-x. Como a percorre todos os reais, o conjunto resultante é a reta inteira y=-x.

Na folha de respostas, desenhe a reta passando pela origem, pelo 2º e pelo 4º quadrantes (por exemplo, por (1,-1) e (-1,1)). Essa é a reflexão da reta y=x em relação ao eixo real.

Resposta: a reta \text{Im}(z)=-\text{Re}(z), ou seja, y=-x, passando pela origem.

b) Seja z=x+yi. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

\frac{z-1}{z+1}=\frac{(z-1)(\bar z+1)}{|z+1|^2}=\frac{|z|^2-1+(z-\bar z)}{|z+1|^2}=\frac{(x^2+y^2-1)+2yi}{|z+1|^2}.

Para ser imaginário puro, a parte real deve ser nula e a parte imaginária deve ser não nula:

x^2+y^2-1=0, ou seja, |z|=1;
y\neq 0.

A condição y\neq0 retira da circunferência os pontos z=1 (onde o quociente vale 0, que não é imaginário puro) e z=-1 (que já era excluído).

Resposta: a circunferência de centro na origem e raio 1, x^2+y^2=1, sem os pontos (1,0) e (-1,0).

c) Os pontos i=(0,1) e 1=(1,0) distam \sqrt2 um do outro. Esse é o lado do triângulo equilátero.

O terceiro vértice z está na mediatriz do segmento, que é a reta y=x. Logo z=t+ti.

A distância de z a 1 deve ser \sqrt2:

(t-1)^2+t^2=2 \Rightarrow 2t^2-2t-1=0 \Rightarrow t=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}{2}.

Como |z-i|=|z-1| por simetria, os dois valores de t servem. Há dois triângulos possíveis, um de cada lado do segmento.

Resposta: \text{Re}(z)=\dfrac{1+\sqrt3}{2} ou \text{Re}(z)=\dfrac{1-\sqrt3}{2}.

Assuntos: números complexos, lugar geométrico, triângulo equilátero.

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Questão M06 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2020