Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2020

2º dia · Matemática

São dados:

  • uma circunferência S de centro O e raio 5;
  • quatro pontos X, Y, Z e W em S de tal forma que as retas tangentes a S nesses pontos formam um trapézio ABCD, como na figura;
  • \sen\left(\widehat{BAW}\right) = \frac{3}{5} e CD = 15.

Trapézio ABCD circunscrito à circunferência S de centro O, com pontos de tangência X no lado AB, Y no lado BC, Z no lado CD e W no lado AD.

Determine

a) a medida de \overline{AB};

b) a medida de \overline{AW} e \overline{AX};

c) a área da região delimitada pelo trapézio ABCD.

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Resolução comentada

a) Os lados AD e BC são paralelos e tangentes à circunferência, então a distância entre eles é o diâmetro: h = 10.

Traçando a altura a partir de B até AD, ela mede 10 e AB é a hipotenusa do triângulo retângulo formado, com ângulo \widehat{A} na base:

\sen\widehat{A}=\frac{10}{AB}=\frac{3}{5}\Rightarrow AB=\frac{50}{3}

AB=\dfrac{50}{3}

b) Como \sen\widehat{A}=\frac35 e \widehat{A} é agudo, \cos\widehat{A}=\frac45.

O centro O está na bissetriz de \widehat{A} e OW\perp AD, então o triângulo AWO é retângulo em W, com OW=5 e ângulo \frac{\widehat{A}}{2} em A:

\tg\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\sen\widehat{A}}{1+\cos\widehat{A}}=\frac{3/5}{9/5}=\frac13
AW=\frac{OW}{\tg(\widehat{A}/2)}=\frac{5}{1/3}=15

Os segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto externo são congruentes, então AX=AW=15.

AW=15 e AX=15

c) Em um quadrilátero circunscrito a uma circunferência (teorema de Pitot), as somas dos lados opostos são iguais:

AD+BC=AB+CD=\frac{50}{3}+15=\frac{95}{3}

O trapézio tem bases AD e BC e altura 10:

\text{Área}=\frac{(AD+BC)\cdot h}{2}=\frac{95}{3}\cdot\frac{10}{2}=\frac{475}{3}

Área =\dfrac{475}{3}\approx 158{,}3

Assuntos: circunferência inscrita no trapézio, teorema de Pitot, trigonometria no triângulo retângulo.

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